1 . 在平面直角坐标系xOy中，，，直线AP，BP 相交于点 P，且它们的斜率之积是1，记点P的轨迹为C．
(1)求证：曲线C是双曲线的一部分：
(2)设直线l与C相切，与其渐近线分别相交于 M、N两点，求证：的面积为定值

2 . 2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）的正视图可以近似看成双纽线，在平面直角坐标系中，把到定点和距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，已知点是双纽线C上一点，则下列说法正确的是（       ）

A．若，则的面积为

B．

C．双纽线C关于原点O对称

D．双纽线上C满足的点P有三个

3 . 已知过点的直线交抛物线于两点，为坐标原点．
(1)证明：；
(2)设为抛物线的焦点，直线与直线交于点，直线交抛物线与两点（在轴的同侧），求直线与直线交点的轨迹方程．

5 . 如图，已知正方体的棱长为2，分别是棱的中点，是侧面内（含边界）的动点，则下列说法正确的是（       ）

A．若直线与平面平行，则三棱锥的体积为

B．若直线与平面平行，则直线上存在唯一的点，使得与始终垂直

C．若，则的最小值为

D．若，则的最大值为

6 . 已知长方体中，，，点是四边形内（包含边界）的一动点，设二面角的大小为，直线与平面所成的角为，若，则（       ）

A．点的轨迹为一条抛物线

B．线段长的最小值为

C．直线与直线所成角的最大值为

D．三棱锥体积的最大值为

7 . 已知动圆过定点,且在轴上截得的弦的长为12,该动圆的圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程;
(2)点是曲线上横坐标大于2的动点,过点作圆的两条切线分别与轴交于点,求面积的最小值．

8 . 棱长为1的正方体中，点是侧面上的一个动点（包含边界），则下面结论正确的有（       ）
①若点满足，则动点的轨迹是线段；
②若点满足，则动点的轨迹是椭圆的一部分；
③在线段上存在点，使直线与．所成的角为；
④当在棱上移动时，的最小值是．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

9 . 已知双曲线C：的准线方程为，C的两个焦点为F₁，F₂.
(1)求b；
(2)若直线l与C相切，切点为A，过F₂且垂直于l的直线与AF₁交于点B，证明：点B在定曲线上.

10 . 正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，若正方体的棱长是2，则的轨迹被正方形截得的线段长是___________.