1 . 已知，，为平面上的一个动点.设直线的斜率分别为，，且满足.记的轨迹为曲线.
(1)求的轨迹方程；
(2)直线，分别交动直线于点，过点作的垂线交轴于点.是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.

2 . 已知双曲线是双曲线的左顶点，直线.
(1)设直线过定点，且交双曲线于两点，求证：直线与的斜率之积为定值；
(2)设直线与双曲线有唯一的公共点.
（i）已知直线与双曲线的两条渐近线相交于两点，求证：；
（ii）过点且与垂直的直线分别交轴､轴于两点，当点运动时，求点的轨迹方程.

3 . 已知动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)若的下顶点为，不过的直线与交于点，线段的中点为，若，试问直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

4 . 已知为坐标原点，，的坐标分别为，，动点满足直线与的斜率之积为定值，设动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)设直线与曲线相交于，两点，直线，，的斜率分别为，，（其中），的面积为S，以，为直径的圆的面积分别为，．若，，恰好构成等比数列，求的取值范围．

5 . 在平面直角坐标系中，已知点，、为抛物线上不同的两点，，且于点．
(1)求的值；
(2)过轴上一点的直线交于、两点，、在的准线上的射影分别为、，为的焦点，若，求中点的轨迹方程．

7 . 已知为坐标原点，为直线上的动点，的平分线与直线交于点，记点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)设为曲线上的两个动点，点在第一象限，点在第四象限，直线分别过点且与曲线相切，为的交点，为直线与直线的交点，求面积的最小值．

10 . 已知圆，圆，动圆与圆和圆均相切，且一个内切、一个外切．
(1)求动圆圆心的轨迹的方程．
(2)已知点，过点的直线与轨迹交于两点，记直线与直线的交点为．试问：点是否在一条定直线上？若在，求出该定直线；若不在，请说明理由．