1 . 已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，且到，的距离之和为8.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为关于原点的对称点，斜率为的直线与线段（不含端点）相交于点，与椭圆相交于点，若为常数，求与面积的比值.

3 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，抛物线的焦点与重合，若点为椭圆和抛物线在第一象限的一个公共点，且的面积为，其中为坐标原点．
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的上顶点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点，求的最大值．

4 . 已知椭圆C：短轴长为2，左、右焦点分别为，，过点的直线l与椭圆C交于M，N两点，其中M，N分别在x轴上方和下方，，，直线与直线MO交于点，直线与直线NO交于点．

(1)若的坐标为，求椭圆C的方程；
(2)在（1）的条件下，过点并垂直于x轴的直线交C于点B，椭圆上不同的两点A，D满足，，成等差数列．求弦AD的中垂线的纵截距的取值范围；
(3)若，求实数a的取值范围．

5 . 已知椭圆：（）中，点，分别是的左、上顶点，，且的焦距为．
(1)求的方程和离心率；
(2)过点且斜率不为零的直线交椭圆于，两点，设直线，，的斜率分别为，，，若，求的值．

6 . 已知椭圆：和圆C：，C经过E的焦点，点A，B为E的右顶点和上顶点，C上的点D满足.
(1)求E的标准方程；
(2)设直线与C相切于第一象限的点P，与E相交于M，N两点，线段的中点为Q.当最大时，求的方程.

7 . 已知椭圆E：经过点，右焦点为，A，B分别为椭圆E的上顶点和下顶点.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知过且斜率存在的直线l与椭圆E交于C、D两点，直线BD与直线AC的斜率分别为k₁和k₂，求的值.

9 . 如图，椭圆有两顶点，，过其焦点的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P，且直线l的斜率大于1，直线AC与直线BD交于点Q.
   
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：为定值.

10 . 已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为．点在直线上运动，且直线的斜率与直线的斜率之商为2．
(1)求的方程；
(2)若点A、B在椭圆上，为坐标原点，且，求面积的最小值．