1 . 已知椭圆：左右焦点分别为、，离心率为，斜率为k的直线l交椭圆于两点A、B，当直线l过时，的周长为8．
(1)求椭圆的方程；
(2)设OA、OB斜率分别为、，若，求证：，并求当面积为时，直线l的方程．

2 . 设、为椭圆：的两个焦点，P为上一点且在第二象限．若，则点P的坐标为______．

3 . 已知椭圆的对称中心为原点O，焦点在y轴上，长轴长是短轴长的倍．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的一个焦点为，过F且斜率为1的直线l交椭圆于两点A、B．求椭圆的标准方程并求的面积．

4 . 已知点和焦点在轴上的椭圆：，且过作椭圆的切线有两条，则该椭圆半焦距的取值范围是（　　）

A．

B．

C．

D．

5 . 已知椭圆，过C的右焦点F且垂直于长轴的弦AB的长为1，焦点F与短轴两端点构成等边三角形．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的直线l与椭圆C交于M，N两点，点E在x轴上且对任意直线l，直线OE都平分（O为坐标原点）．
①求点E的坐标；
②求的面积的最大值．

6 . 已知P是圆上任一点，，线段PA的垂直平分线l和半径CP交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为___________.

7 . 已知椭圆过点，且离心率为．
(1)求E的方程；
(2)过作斜率之积为1的两条直线与，设交E于A，B两点，交E于C，D两点，的中点分别为M，N．探究：与的面积之比是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．

8 . 已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．
(1)求椭圆E的方程：
(2)设过椭圆的左焦点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两、，求的长．

9 . 已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，斜率为k的直线l过点F，若直线l上存在点M满足，则实数k的取值范围是__________．

10 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点M是C上任意一点，且的周长为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P是椭圆C上一点且在第四象限，，过点P作倾斜角互补的两条不同直线分别与椭圆C交于点A，B（A，B与P不重合），试判断直线的斜率是否为定值，并证明你的结论．