1 . 已知椭圆的离心率是，左､右顶点分别为，过线段上的点的直线与交于两点，且与的面积比为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与交于点.证明：点在定直线上.

2 . 已知椭圆的左､右焦点为，离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于两点，且的周长为8.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设过椭圆右焦点的直线的斜率分别为，满足交椭圆于点交椭圆于点，线段与的中点分别为.判断直线是否过定点，若过定点求出该定点；若不过定点，请说明理由.

3 . 已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，且经过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点是椭圆上不在轴上的任意一点，射线分别与椭圆交于点．设的面积分别为．求证：为定值．

4 . 已知椭圆的一个顶点为，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)在直线上任取一点，设长轴上的两个顶点为，连接分别交椭圆于两点，证明：直线的交点在直线上.

5 . 已知椭圆的离心率为，过点的直线交椭圆于点，且当轴时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)记椭圆的左焦点为，若过三点的圆的圆心恰好在轴上，求直线的斜率.

6 . 已知椭圆 的离心率为 其左右焦点分别为 下顶点为A，右顶点为B，的面积为
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)设不过原点O 的直线交C于M、N两点，且直线 的斜率依次成等比数列，求 面积的取值范围．

7 . 已知椭圆的离心率为，过点的直线交椭圆于点，且当轴时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)记椭圆的左焦点为，若过三点的圆的圆心恰好在轴上，求直线的方程.

8 . 已知椭圆的左焦点为，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：，试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，切点分别为.
（ⅰ）证明：直线过定点；
（ⅱ）点A关于轴的对称点为，连接交轴于点，设的面积分别为，求的最大值.

9 . 已知椭圆的上顶点为B，右焦点为F，点B、F都在直线上.
(1)求椭圆的标准方程及离心率；
(2)设直线与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，点关于原点的对称点为．记直线的斜率为，直线的斜率为，求的值．

10 . 古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到：椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知是椭圆C：的左焦点，且椭圆C的面积为，离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设点，，以为直径的圆与椭圆C在x轴上方交于M，N两点，求的值