1 . 已知椭圆的离心率为，且经过点．
   
(1)求椭圆方程；
(2)直线与椭圆交于点为的右焦点，直线分别交于另一点、，记与的面积分别为，求的范围．

2 . 已知椭圆的离心率为，A，B分别为椭圆的左、右顶点，F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，点M是以AB为直径的圆上除去A，B的任意一点，直线AM交椭圆C于另一点N.当点N为椭圆C的短轴端点时，原点O到直线NF₂的距离为1．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求的最小值.

3 . 已知椭圆C：的离心率，设，，，其中A，B两点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P的直线交椭圆C于M，N两点（M在线段AB上方），在AN上取一点H，连接MH交线段AB于T，若T为MH的中点，证明：直线MH的斜率为定值．

4 . 已知椭圆的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率，且过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于两点，且直线的倾斜角互补，判断直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

5 . 已知椭圆C：的离心率为，且过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知O为坐标原点，A，B，P为椭圆C上不同的三点，若.试问：△ABP的面积是否为定值？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由.

6 . 已知椭圆：与椭圆：的离心率相等，的焦距是．
(1)求的标准方程；
(2)P为直线l：上任意一点，是否在x轴上存在定点T，使得直线PT与曲线的交点A，B满足？若存在，求出点T的坐标．若不存在，请说明理由．

7 . 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，为的上顶点，且的周长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围．

8 . 已知椭圆：经过点，离心率为，点A为椭圆的右顶点，直线与椭圆相交于不同于点A的两个点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当时，求面积的最大值；

9 . 已知椭圆的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率，且过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于两点，且直线的倾斜角互补，点，求三角形面积的最大值．

10 . 已知是椭圆的顶点（如图），直线l与椭圆交于异于顶点的两点，且，若椭圆的离心率是，且，
   
(1)求此椭圆的方程；
(2)设直线和直线的斜率分别为，证明为定值.