1 . 已知抛物线的焦点为，点与关于坐标原点对称，直线垂直于轴，垂足为，与抛物线交于不同的两点，，且.
（1）求点的横坐标.
（2）若以，为焦点的椭圆过点
（ⅰ）求椭圆的标准方程；
（ⅱ）过点作直线与椭圆交于，两点，设，若，求的取值范围.

2 . 已知抛物线：的焦点与椭圆：（）右焦点重合，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)若倾斜角为的直线过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于、两点，求的面积.

3 . 设分别是椭圆：的左右焦点，椭圆上一点到两点距离和等于4.
(1)求出椭圆的方程和焦点坐标；
(2)设直线：与椭圆相交于两点，求的长.

4 . 已知椭圆的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)设点是椭圆上的动点，为椭圆的左焦点，求线段的中点的轨迹方程；
(3)直线过定点，且与椭圆交于不同的两点，若为钝角（为坐标原点），求直线的斜率的取值范围．

5 . 已知椭圆过点，两个焦点为.
(1)求椭圆的方程；
(2)是椭圆上的两个动点，如果直线的斜率与的斜率之和为2，证明：直线恒过定点.

6 . 已知椭圆（）的离心率为，点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆上的焦点作两条相互垂直的弦，求的取值范围.

7 . 已知椭圆：经过点，左右焦点分别为、，圆与直线相交所得弦长为2．　
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设是椭圆上不在轴上的一个动点，为坐标原点，过点作的平行线交椭圆于、两个不同的点．
（1）试探究的值是否为一个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．
（2）记的面积为，的面积为，令，求的最大值．

8 . 已知椭圆C：过点，左右焦点为，且椭圆C关于直线对称的图形过坐标原点．

(1)求椭圆C方程；
(2)圆D：与椭圆C交于A，B两点，R为线段AB上任一点，直线F₁R交椭圆C于P，Q两点，若AB为圆D的直径，且直线F₁R的斜率大于1，求的取值范围.

9 . 已知椭圆：经过点，离心率为，点为椭圆的右顶点，直线与椭圆相交于不同于点的两个点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）当时，求面积的最大值；
（Ⅲ）若直线的斜率为2，求证：的外接圆恒过一个异于点的定点.

10 . 已知椭圆的离心率为,经过点
（Ⅰ）求椭圆的标准方程;
（Ⅱ）过点作直线交椭圆于两点, 是坐标原点,求△的面积的最大值,并求此时直线的方程.