1 . 已知椭圆，连接E的四个顶点所得四边形的面积为4，是E上一点．

(1)求椭圆E的方程；
(2)设斜率为的直线与椭圆E交于A，B两点，D为线段的中点，O为坐标原点，若E上存在点C，使得，求三角形的面积．

2 . 已知椭圆C：过点，且C的右焦点为．
(1)求C的离心率；
(2)过点F且斜率为1的直线与C交于M，N两点，P直线上的动点，记直线PM，PN，PF的斜率分别为，，，证明：．

3 . 已知椭圆：，为椭圆的右焦点，三点，，中恰有两点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点为椭圆的左右端点，过点作直线交椭圆于，两点（不同于），求证：直线与直线的交点在定直线上运动，并求出该直线的方程.

4 . 已知椭圆：（）左、右焦点分别为，，且为抛物线的焦点， 为椭圆上一点.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知，为椭圆上不同两点，且都在轴上方，满足.
（ⅰ）若，求直线的斜率；
（ⅱ）若直线与抛物线无交点，求四边形面积的取值范围.

5 . 已知椭圆的左焦点为，且过点.
(1)求C的方程；
(2)不过原点O的直线与C交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率成等比数列.
（i）求的斜率；
（ii）求的面积的取值范围.

7 . 已知椭圆E：，四点，，，中恰有三点在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程；
(2)点P为椭圆E上的一动点，设直线PA，PB的斜率分别为，.
①求的值；
②若不与坐标轴垂直的直线l交椭圆E于M，N两点，O为坐标原点，，，求的面积.

8 . 已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆过，直线与椭圆交于、.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线、的斜率分别为、，证明：.

9 . 已知椭圆的离心率，且经过点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线与椭圆E交于A，B两点，且椭圆E上存在点M，使得四边形为平行四边形.试探究：四边形OAMB的面积是否为定值？若是定值，求出四边形的面积；若不是定值，请说明理由.

10 . 已知椭圆过点，且离心率．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点A作与相切的两条直线，分别交椭圆C于P，Q两点，求证：直线恒过定点．