1 . 知椭圆E：的左右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为

(1)求椭圆E的方程；
(2)如图，下顶点为A，过点作一条与y轴不重合的直线.该直线交椭圆E于C，D两点.直线AD，AC分别交x轴于点H，求证：与的面积之积为定值，并求出该定值.

2 . 已知椭圆的离心率是，一个顶点是.
（1）求椭圆C的标准方程
（2）设P，Q是椭圆上异于顶点的任意两点，且，求证：直线PQ恒过定点.

3 . 记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”．已知椭圆E：，椭圆E的相似椭圆M经过（2，1）点．

（1）求椭圆M的方程；
（2）直线l与椭圆E交于A，B两点，与椭圆M交于C，D两点（A，B，C，D四点位置如图），若|CD|＝2|AB|，点N在直线l上，ON⊥直线l，求|ON|的取值范围．

4 . 已知椭圆的离心率为，并且经过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与轴交于点，与椭圆的另一个交点为，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，求证：为定值．

5 . 已知，是椭圆：长轴的两个端点，点在椭圆上，直线，的斜率之积等于.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，直线方程为，若过点的直线与椭圆相交于，两点，直线，与的交点分别为，，线段的中点为.判断是否存在正数使直线的斜率为定值，并说明理由.

6 . 已知椭圆的焦距为，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于、两点，交轴于点，若，，求证：为定值.