1 . 已知点在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)设点为双曲线右支上除右顶点外的任意点，证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值；
(3)过点作斜率为的动直线与双曲线右支交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点，满足．
（ⅰ）求斜率的取值范围；
（ⅱ）证明：点恒在一条定直线上．

2 . 已知双曲线E：的一条渐近线为，左顶点为A，右焦点为，点B，C是双曲线E的右支上相异的两点，直线AB，AC分别与直线l：交于M，N两点，且以线段MN为直径的圆恰过点F．
(1)求双曲线E的标准方程．
(2)求面积的最小值．

3 . 已知双曲线：的渐近线为，焦距为，直线与的右支及渐近线的交点自上至下依次为、、、.
(1)求的方程；
(2)证明：；
(3)求的取值范围.

4 . 已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，椭圆以，为焦点，以为长轴．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设点满足，过且与双曲线的渐近线平行的两直线分别交于点，，过且与平行的直线交的渐近线于点，．证明：为定值，并求出此定值．

5 . 已知双曲线：（，）的右顶点为A，点在轴的正半轴上，且，：为的一条渐近线，过点A向作一条垂线，垂足为点，四边形的面积为．
(1)求双曲线的方程．
(2)在轴上是否存在一点（异于原点），过点作直线，与双曲线相切于点，过点作直线，与双曲线交于不同的两点，，使得？

6 . 在平面直角坐标系中，点在双曲线上，渐近线方程为.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作直线与双曲线交于两点，在轴上是否存在一定点，使得直线与的斜率之和为定值？若存在，请求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由.

7 . 已知双曲线的左、右焦点分别为，从下面3个条件中选出2个作为已知条件，并回答下面的问题：
①点在双曲线上；②点在双曲线上，，且；③双曲线的一条渐近线与直线垂直.
(1)求双曲线的方程；
(2)设分别为双曲线的左、右顶点，过点的直线与双曲线交于两点，若，求直线的斜率.

8 . 已知双曲线的两条渐近线方程为分别为双曲线的顶点，且．
(1)求双曲线的方程．
(2)已知为坐标原点，直线与双曲线交于两点，且，求的值．
(3)设动点，直线与双曲线分别交于两点．求证：直线过定点．

9 . 已知双曲线：（，）的渐近线方程为，过的左焦点且垂直于一条渐近线的直线分别交两条渐近线于点，（，在轴同侧），且．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)探究圆：上是否存在点，使得过作双曲线的两条切线，互相垂直，并说明理由．

10 . 已知双曲线一个焦点到渐近线的距离为，且离心率为2．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设分别是双曲线左、右两支上的动点，为双曲线的左顶点，若直线的斜率分别为，且，求直线的方程．