解题方法
1 . 彗星是太阳系大家庭里特殊的一族成员，它们以其明亮的尾巴和美丽的外观而闻名，它的运行轨道和行星轨道很不相同，一般为极扁的椭圆形、双曲线或抛物线.它们可以接近太阳，但在靠近太阳时，由于木星、土星等行星引力的微绕造成了轨道参数的偏差，使得它轨道的离心率由小于1变为大于或等于1，这使得少数彗星会出现“逃逸"现象，终生只能接近太阳一次，永不复返.通过演示，现有一颗彗星已经“逃逸”为以太阳为其中一个焦点离心率为
的运行轨道，且慧星距离太阳的最近距离为
.
(1)求彗星“逃逸”轨道的标准方程；
(2)设双曲线的两个顶点分别为
，
，过，作双曲线的切线
，
，若点P为双曲线上的动点，过P作双曲线的切线，交实轴于点Q，记直线
与交于点M，直线
交于点N.求证：M，N，Q三点共线.
的运行轨道，且慧星距离太阳的最近距离为.(1)求彗星“逃逸”轨道的标准方程；
(2)设双曲线的两个顶点分别为
，，过，作双曲线的切线，，若点P为双曲线上的动点，过P作双曲线的切线，交实轴于点Q，记直线与交于点M，直线交于点N.求证：M，N，Q三点共线.
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2 . 已知双曲线
的离心率为
，实轴长为
．两条不同直线
与双曲线
分别交于A，B两点和C，D两点，两条直线的斜率分别为
．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线l1过右焦点，求线段AB长度的最小值；
(3)若两条不同直线都过点
且演足
分别为线段AB，CD的中点，求证直线MN过定点，并求出该定点坐标．
的离心率为，实轴长为．两条不同直线与双曲线分别交于A，B两点和C，D两点，两条直线的斜率分别为．(1)求双曲线
的方程；(2)若直线l1过右焦点，求线段AB长度的最小值；
(3)若两条不同直线
都过点且演足分别为线段AB，CD的中点，求证直线MN过定点，并求出该定点坐标．
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2024-04-09更新
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258次组卷
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2卷引用：江苏省淮阴中学2023-2024学年高二下学期级阶段测试（一）数学试卷
3 . 已知离心率为
的双曲线
经过点
.
(1)求的方程；
(2)如图，点
为双曲线上的任意一点，
为原点，过点作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于
、
两点，求证：平行四边形
的面积为定值.
的双曲线经过点.(1)求
的方程；(2)如图，点
为双曲线上的任意一点，为原点，过点作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于、两点，求证：平行四边形的面积为定值.
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2024-01-25更新
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312次组卷
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2卷引用：云南省昆明市官渡区2023-2024学年高二上学期1月期末学业水平考试数学试题
名校
解题方法
4 . 在平面直角坐标系
中，双曲线
的左顶点到右焦点的距离是3，且的离心率是2．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)点
是上位于第一象限的一点，点
关于原点对称，点
关于
轴对称．延长
至
使得
，且直线
和的另一个交点
位于第二象限中．
（ⅰ）求
的取值范围，并判断
是否成立？
（ⅱ）证明：
不可能是
的三等分线．
中，双曲线的左顶点到右焦点的距离是3，且的离心率是2．(1)求双曲线
的标准方程；(2)点
是上位于第一象限的一点，点关于原点对称，点关于轴对称．延长至使得，且直线和的另一个交点位于第二象限中．（ⅰ）求
的取值范围，并判断是否成立？（ⅱ）证明：
不可能是的三等分线．
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5 . 已知双曲线
（
，
）的离心率为2，且经过点
.
(1)求双曲线的方程；
(2)点
，在双曲线上，且
，
，
为垂足.证明：①直线
过定点；②存在定点
，使得
为定值.
（，）的离心率为2，且经过点.(1)求双曲线
的方程；(2)点
，在双曲线上，且，，为垂足.证明：①直线过定点；②存在定点，使得为定值.
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名校
6 . 已知椭圆
与双曲线
的焦距之比为
．
(1)求椭圆
和双曲线
的离心率；
(2)设双曲线的右焦点为F，过F作
轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，
与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：
．
与双曲线的焦距之比为．(1)求椭圆
和双曲线的离心率；(2)设双曲线
的右焦点为F，过F作轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：．
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2024-01-25更新
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948次组卷
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8卷引用：湖南省部分学校2023-2024学年高二上学期期末联合考试数学试题
解题方法
7 . 已知双曲线的离心率为，过点
．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过点
的直线
与交于两点
均在
轴上方），点在线段
上，且满足
．证明：在定直线上．
的离心率为，过点．(1)求双曲线
的方程；(2)若过点
的直线与交于两点均在轴上方），点在线段上，且满足．证明：在定直线上．
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8 . 已知双曲线C：
经过点
，其离心率为，A，B分别为C的左，右顶点．若P为直线
上的动点，PA与C的另一交点为M，PB与C的另一交点为N．
(1)求C的方程；
(2)证明：直线MN过定点．
经过点，其离心率为，A，B分别为C的左，右顶点．若P为直线上的动点，PA与C的另一交点为M，PB与C的另一交点为N．(1)求C的方程；
(2)证明：直线MN过定点．
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名校
解题方法
9 . 已知双曲线
的离心率为
，左焦点到双曲线的渐近线的距离为，过点作直线与双曲线的左、右支分别交于点
，过点作直线与双曲线的左、右支分别交于点
，且点
关于原点对称．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：直线过定点．
的离心率为，左焦点到双曲线的渐近线的距离为，过点作直线与双曲线的左、右支分别交于点，过点作直线与双曲线的左、右支分别交于点，且点关于原点对称．(1)求双曲线
的方程；(2)求证：直线
过定点．
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2024·全国·模拟预测
解题方法
10 . 已知双曲线C的中心为坐标原点O，C的一个焦点坐标为
，离心率为
．
(1)求C的方程；
(2)设C的上、下顶点分别为，，若直线l交C于
，
，且点N在第一象限，
，直线
与直线
的交点P在直线
上，证明：直线MN过定点．
，离心率为．(1)求C的方程；
(2)设C的上、下顶点分别为
，，若直线l交C于，，且点N在第一象限，，直线与直线的交点P在直线上，证明：直线MN过定点．
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