1 . 已知离心率为
的双曲线
经过点
.
(1)求
的方程；
(2)如图，点
为双曲线上的任意一点，
为原点，过点作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于
、
两点，求证：平行四边形
的面积为定值.
的双曲线经过点.(1)求
的方程；(2)如图，点
为双曲线上的任意一点，为原点，过点作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于、两点，求证：平行四边形的面积为定值.
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2024-01-25更新
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317次组卷
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2卷引用：云南省昆明市官渡区2023-2024学年高二上学期1月期末学业水平考试数学试题
解题方法
2 . 已知双曲线：
过点
，离心率为
.
(1)求的方程；
(2)过点
且斜率为
的直线
交双曲线左支于点
，平行于的直线交双曲线的渐近线于A，B两点，点A在第一象限，直线
的斜率为
.若四边形
为平行四边形，证明：
为定值.
：过点，离心率为.(1)求
的方程；(2)过点
且斜率为的直线交双曲线左支于点，平行于的直线交双曲线的渐近线于A，B两点，点A在第一象限，直线的斜率为.若四边形为平行四边形，证明：为定值.
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名校
解题方法
3 . 已知双曲线的中心为坐标原点，上顶点为
，离心率为
.
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)记双曲线的上､下顶点为
为直线
上一点，直线
与双曲线交于另一点
，直线
与双曲线交于另一点，求证：直线
过定点，并求出定点坐标.
的中心为坐标原点，上顶点为，离心率为.(1)求双曲线
的渐近线方程；(2)记双曲线
的上､下顶点为为直线上一点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，求证：直线过定点，并求出定点坐标.
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2023-12-21更新
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327次组卷
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2卷引用：浙江省金华市卓越联盟2023-2024学年高二上学期12月阶段联考数学试卷
名校
4 . 已知椭圆
与双曲线
的焦距之比为
．
(1)求椭圆
和双曲线
的离心率；
(2)设双曲线的右焦点为F，过F作
轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：
．
与双曲线的焦距之比为．(1)求椭圆
和双曲线的离心率；(2)设双曲线
的右焦点为F，过F作轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：．
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2024-01-25更新
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955次组卷
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8卷引用：湖南省部分学校2023-2024学年高二上学期期末联合考试数学试题
名校
解题方法
5 . 双曲线C：的离心率为
，点
在C上.
(1)求C的方程；
(2)设圆O：
上任意一点P处的切线交C于M、N两点，证明：以MN为直径的圆过定点.
的离心率为，点在C上.(1)求C的方程；
(2)设圆O：
上任意一点P处的切线交C于M、N两点，证明：以MN为直径的圆过定点.
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2024-06-04更新
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470次组卷
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2卷引用：福建省厦门市2024届高中毕业班第二次质量检查基础巩固练习数学试题
解题方法
6 . 已知椭圆
的离心率与双曲线
的离心率互为倒数，椭圆
的短轴长为2，点
是左，右顶点．
(1)求椭圆的方程；
(2)点是坐标原点，直线经过点
，并且与椭圆交于
直线
与直线
交于点
，设直线
的斜率分别为
，求证：
为定值．
的离心率与双曲线的离心率互为倒数，椭圆的短轴长为2，点是左，右顶点．(1)求椭圆
的方程；(2)点
是坐标原点，直线经过点，并且与椭圆交于直线与直线交于点，设直线的斜率分别为，求证：为定值．
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解题方法
7 . 用平面截圆锥面，可以截出椭圆､双曲线､抛物线，那它们是不是符合圆锥曲线的定义呢？比利时数学家旦德林用一个双球模型给出了证明.如图1，在一个圆锥中放入两个球，使得它们都与圆锥面相切，一个平面过圆锥母线上的点且与两个球都相切，切点分别记为
.这个平面截圆锥面得到交线
是上任意一点，过点的母线与两个球分别相切于点
，因此有
，而
是图中两个圆锥母线长的差，是一个定值，因此曲线是一个椭圆.如图2，两个对顶圆锥中，各有一个球，这两个球的半径相等且与圆锥面相切，已知这两个圆锥的母线与轴夹角的正切值为
，球的半径为4，平面
与圆锥的轴平行，且与这两个球相切于两点，记平面与圆锥侧面相交所得曲线为，则曲线的离心率为__________ .
且与两个球都相切，切点分别记为.这个平面截圆锥面得到交线是上任意一点，过点的母线与两个球分别相切于点，因此有，而是图中两个圆锥母线长的差，是一个定值，因此曲线是一个椭圆.如图2，两个对顶圆锥中，各有一个球，这两个球的半径相等且与圆锥面相切，已知这两个圆锥的母线与轴夹角的正切值为，球的半径为4，平面与圆锥的轴平行，且与这两个球相切于两点，记平面与圆锥侧面相交所得曲线为，则曲线的离心率为
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解题方法
8 . 已知双曲线
的离心率为，过点
．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过点
的直线与交于两点
均在
轴上方），点在线段
上，且满足
．证明：在定直线上．
的离心率为，过点．(1)求双曲线
的方程；(2)若过点
的直线与交于两点均在轴上方），点在线段上，且满足．证明：在定直线上．
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解题方法
9 . 已知双曲线
的离心率为，且双曲线C过点
，直线l交双曲线C于P，Q两点（异于点A），直线AP，AQ的倾斜角互补．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)求证：直线l与直线
平行．
的离心率为，且双曲线C过点，直线l交双曲线C于P，Q两点（异于点A），直线AP，AQ的倾斜角互补．(1)求双曲线C的标准方程；
(2)求证：直线l与直线
平行．
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2023-04-07更新
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286次组卷
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2卷引用：河南省部分学校2023届高三高考仿真适应性测试文科数学试题
10 . 已知双曲线 的左右焦点分别为 ，离心率为 2， 是上一点，且
，
的周长为 12.
(1)求C的方程;
(2)过
的直线与C的右支交于A，B两点，过原点O作AB的垂线，并且与双曲线右支交于点P，证明： 
为定值.
的左右焦点分别为 ，离心率为 2， 是上一点，且，的周长为 12.(1)求C的方程;
(2)过
的直线与C的右支交于A，B两点，过原点O作AB的垂线，并且与双曲线右支交于点P，证明： 为定值.
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