1 . 如图，已知，分别是双曲线E：的左、右焦点，是E上一点．

(1)求E的方程．
(2)过直线l：上任意一点T作直线，与E的左、右两支相交于A，B两点，直线关于直线l对称的直线为（与不重合），与E的左、右两支相交于C，D两点．证明：．

2 . 已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点M（），
(1)求双曲线C的标准方程
(2)已知直线与曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数m的值.

3 . 已知双曲线C：过点且右焦点.
(1)求双曲线的方程；
(2)点M是双曲线上位于第一象限内的一动点，直线与x轴交于点A，的平分线与直线交于点B，试问直线MB是否恒过定点，若过，则求出定点坐标，若不过，请说明理由.

4 . 在①双曲线的焦点在轴上，②双曲线的焦点在轴上这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
已知双曲线的对称轴为坐标轴，且经过点，．
(1)求双曲线的方程；
(2)若双曲线与双曲线的渐近线相同，______，且的焦距为4，求双曲线的实轴长．
注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．

5 . 根据下列条件，求双曲线的标准方程.
(1)与双曲线有公共焦点，且经过点.
(2)焦点为，且渐近线方程为.

6 . 已知双曲线：的离心率为，点在上，为的右焦点.
(1)求双曲线的方程；
(2)设为的左顶点，过点作直线交于（不与重合）两点，点是的中点，求证：.

7 . 已知双曲线E：的离心率为2，点在E上.
（1）求E的方程：
（2）过点的直线交E于不同的两点A，B（均异于点P），求直线PA，PB的斜率之和.

8 . （1）已知双曲线经过点（1，1），它渐近线方程为，求双曲线的标准方程.
（2）已知双曲线过点，一个焦点为，求双曲线的标准方程.