1 . 已知双曲线的左右焦点分别为，点在的渐近线上，且满足.
(1)求的方程；
(2)点为的左顶点，过的直线交于两点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，证明：线段的中点为定点.

2 . 已知曲线的方程为．
(1)说明为何种圆雉曲线，并求的标准方程；
(2)已知直线与交于，两点，与的一条渐近线交于点，且在第四象限，为坐标原点，求．

3 . 已知双曲线的方程是．

(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，求的大小．

4 . 已知双曲线，直线过双曲线的右焦点且交右支于两点，点为线段的中点，点在轴上，．
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)若，求直线的方程．

5 . 已知圆，，动圆与圆，均外切，记圆心的轨迹为曲线．

(1)求曲线的方程；
(2)直线过点，且与曲线交于两点，满足，求直线的方程．

7 . 已知抛物线的焦点F到双曲线的渐近线的距离为，且该双曲线的离心率为2．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)过F的两条相互垂直的直线，其中交E于A，B两点，交E于C，D两点，求的最小值．

8 . 已知离心率为的双曲线C与椭圆的焦点相同.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)求双曲线C的焦点到渐近线的距离.

9 . 陕西历史博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作中的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与y轴及直线围成的曲边四边形绕y轴旋转一周得到的几何体，如图，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，
          
(1)求杯身最细之处的周长（杯的厚度忽略不计）：
(2)求此双曲线C的离心率与渐近线方程.

10 . 已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为.
(1)求抛物线的方程；
(2)过原点作两条相互垂直的直线交曲线于异于原点的两点，直线与轴相交于，试探究在轴上是否存在异于的定点，使得轴为的角平分线，若存在，请求出点坐标； 若不存在，请说明理由.