1 . 在平面直角坐标系中，设点的轨迹为曲线，点到的距离比到轴的距离大1（其中点的横坐标不小于0）.
(1)求曲线的方程；
(2)是曲线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，求.

2 . 已知是抛物线的焦点，是上在第一象限的一点，点在轴上，轴，，．
(1)求的方程；
(2)过作斜率为的直线与交于，两点，的面积为（为坐标原点），求直线的方程．

3 . 已知抛物线C：的焦点为F，过点的直线垂直x轴于Q，为等腰直角三角形.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l交抛物线C于A，B两点，且F恰为的重心，求直线l的方程.

4 . 已知抛物线（）的焦点为，点为抛物线上一点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，，若，求的值.

5 . 已知抛物线的准线方程为.
(1)求p的值；
(2)直线交抛物线于A，B两点，求弦长.

6 . 已知抛物线：的焦点是圆与轴的一个交点.
(1)求抛物线的方程;
(2)若过点的直线与抛物线交于不同的两点A、B，О为坐标原点，证明：.

7 . 已知抛物线：上有一点到焦点的距离为5.
(1)斜率为2的直线与抛物线交于，，若，求直线的方程；
(2)已知过点的直线与抛物线交于，两点，且关于轴的对称点为，判断直线是否过定点？并说明理由.

8 . 已知抛物线的准线方程为，过其焦点的直线交抛物线于两点，线段的中点为坐标原点为且直线OM的斜率为.
(1)求抛物线的方程；
(2)求的面积.

9 . 设抛物线C：y² =2px（p>0）的焦点为F，直线l与抛物线C交于不同的两点A、B，线段AB中点M的横坐标为2，且.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若直线l（斜率存在）经过焦点F，求直线l的方程.

10 . 已知抛物线的准线为，过抛物线上一点向轴作垂线，垂足恰好为抛物线的焦点，且．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设与轴的交点为，过轴上的一个定点的直线与抛物线交于两点．记直线的斜率分别为，若，求直线的方程.