1 . 已知抛物线的焦点为， 过的直线交于两点， 过与垂直的直线交于两点，其中在轴左侧，分别为的中点，且直线过定点.
(1)求抛物线的方程；
(2)设为直线与直线的交点;
（i）证明在定直线上；
（ii）求面积的最小值.

3 . 已知平面直角坐标系中，动点到的距离比到轴的距离大2，则的轨迹方程是______.

4 . 抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点（点在轴的下方），则下列结论正确的是（       ）

A．若，则中点到轴的距离为4

B．弦的中点的轨迹为抛物线

C．若，则直线的斜率

D．的最小值等于9

7 . 已知抛物线：的焦点为，顶点为坐标原点，过点的直线与相交于两点，当点到直线的距离最大时，.
(1)求的标准方程；
(2)过点作轴于点，记线段的中点为，且与的面积之和为，求的最小值.

8 . 在平面直角坐标系中，已知圆心为的动圆过点，且在轴上截得的弦长为8，记的轨迹为曲线．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，点为直线上的动点，则是否存在这样的点，使得△是正三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

9 . 综合应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜，这种望远镜的特点是，镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚.例如，某天文仪器厂设计制造的一种镜筒长为72cm的反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示.其中，一个反射镜弧所在的曲线为双曲线的一个分支，另一个反射镜弧所在的曲线为抛物线.已知，是双曲线的两个焦点，且关于点对称，其中同时又是抛物线的焦点，若尺寸满足，，，则双曲线的方程为_______，抛物线的方程为_______.

10 . 在平面直角坐标系中，已知点，直线，动点到的距离等于.设动点的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)若直线与曲线交于两点，证明：为定值.