1 . 已知椭圆过点，且椭圆的离心率为 .
(1)求椭圆的方程；
(2)若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且为线段的中点，再过作直线，证明：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标.

2 . 已知椭圆的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率，且过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于两点，且直线的倾斜角互补，判断直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

3 . 已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆的短轴长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，且满足（为坐标原点）若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

4 . 设椭圆的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于，两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限．若的面积是面积的2倍，求的值．

5 . 已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆E的离心率为，过且不与坐标轴垂直的直线与椭圆E交于A，B两点，的周长为8．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过且与垂直的直线与椭圆E交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．

6 . 已知点A为椭圆的左顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于B，C两点．
(1)记直线AB，AC的斜率分别为，试判断是否为定值?并说明理由；
(2)直线AB，AC分别交直线于M，N两点，当时，求线段MN长度的取值范围．

7 . 已知，分别是椭圆的上下顶点，，点在椭圆上，为坐标原点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线与椭圆交于轴上方两点，．若，试判断直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若否，说明理由．

8 . 在平面直角坐标系中，点，点是平面内的动点.若以PF为直径的圆与圆内切，记点P的轨迹为曲线E．
(1)求E的方程；
(2)设点，，，直线AM，AN分别与曲线E交于点S，T（S，T异于A），，垂足为H，求的最小值．

9 . 已知分别为椭圆的左，右顶点，为其右焦点，，且点在椭圆上．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过的直线与椭圆交于两点，且与以为直径的圆交于两点，证明：为定值．

10 . 设、分别为椭圆的左、右顶点，设是椭圆下顶点，直线与斜率之积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若一动圆的圆心在椭圆上运动，半径为．过原点作动圆的两条切线，分别交椭圆于、两点，试证明为定值．