1 . 已知椭圆：的长轴长为，离心率为，过右焦点且与轴不垂直的直线与椭圆相交于A，B两点，点M的坐标为，记直线，的斜率分别为，．
(1)求椭圆的方程；
(2)当时，求直线的方程；
(3)求证：为定值．

2 . 已知椭圆C：的离心率为，上顶点为，下顶点为，，设点在直线上，过点的直线分别交椭圆于点和点，直线与轴的交点为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若的面积为的面积的2倍，求t的值.

3 . 已知椭圆的长轴长是，以其短轴为直径的圆过椭圆的焦点
(1)求椭圆E的方程；
(2)过椭圆E左焦点作不与坐标轴垂直的直线，交椭圆于M，N两点，线段的垂直平分线与y轴负半轴交于点Q，若点Q的纵坐标的最大值是，求的最小值；

4 . 已知点M是椭圆C：上一点，F₁，F₂分别为C的左、右焦点，且|F₁F₂|＝4，∠F₁MF₂＝60°，的面积为.
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 设P为椭圆C上的动点，求取值范围；
(3) 设Q为椭圆C与焦点F₁，F₂不共线点，若面积小于，求点Q横坐标的取值范围.

5 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为且过焦点垂直于轴的弦长为．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于，两点，点为直线上（不在轴上）的一动点．
①，求直线的斜率；
②设直线，，的斜率分别为，，，试探究：是否存在常数使得恒成立?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

6 . 已知椭圆上的点到左、右焦点，的距离之和为，且离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线交椭圆于，两点，点与点关于轴对称，求面积的最大值.

7 . 如图，已知椭圆过点，其的左、右顶点分别是，，下、上顶点分别是，，是椭圆上第一象限内的一点，直线，的斜率，满足.

（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于另一点，求四边形面积的取值范围.

8 . 已知椭圆的离心率为，过其左焦点的直线交椭圆于、两点，且当直线轴时，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为椭圆的右焦点，求满足的直线的方程.

9 . 已知椭圆的离心率e满足，右顶点为A，上顶点为B，点C(0，－2)，过点C作一条与y轴不重合的直线l，直线l交椭圆E于P，Q两点，直线BP，BQ分别交x轴于点M，N；当直线l经过点A时，l的斜率为．

(1)求椭圆E的方程；
(2)证明：为定值．

10 . 如图，在平面直角坐标系xOy中；已知椭圆的焦距为2，一条准线方程为，设过右焦点F任意作一条直线l交椭圆E于M，N两点．

（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线l的斜率为1，求弦长MN的值；
（3）设点P在线段MN上运动，右顶点A关于点P的对称点为点C，求四边形AMCN面积的最大值．