1 . 已知抛物线的焦点和椭圆的右焦点重合，过点任意作直线分别交抛物线于，交椭圆于.当垂直于轴时，.

(1)求和的方程；
(2)是否存在常数，使为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

2 . 如图，曲线由两个椭圆：和椭圆：组成，当，，成等比数列时，称曲线为“猫眼曲线”

(1)若猫眼曲线过点，且，，的公比为，求猫眼曲线的方程；
(2)对（1）中求出的猫眼曲线，任意作一条斜率为且不过原点的直线与椭圆，均相交，交椭圆所得弦的中点为，交椭圆所得弦的中点为，设为坐标原点，直线，的斜率分别为，，求证为定值；
(3)已知的长轴长是，的离心率是，斜率为的直线为椭圆的切线交椭圆于点，为椭圆上的任意一点点与点不重合，求面积的最大值．

3 . 平面直角坐标系中，椭圆，抛物线.设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交与不同的两点，，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点.

（1）求证：点在定直线上；
（2）直线与轴交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值.

4 . 已知椭圆的离心率，点在椭圆E上.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）直线l与椭圆E交于M，N两点，点P在椭圆E上.若四边形为平行四边形，求证：四边形的面积为定值.

5 . 如图所示，已知点是轴左侧一点，抛物线上存在不同的两点，，中点为，，的中点均在上.

（1）求证：；
（2）若是半椭圆上的动点，求长度的取值范围.

6 . 已知椭圆：，点在曲线上，短轴下顶点为，且短轴长为2.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点作直线与椭圆的另一交点为，且与所成的夹角为，求的面积.

7 . 如图，已知椭圆过点，其的左、右顶点分别是，，下、上顶点分别是，，是椭圆上第一象限内的一点，直线，的斜率，满足.

（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于另一点，求四边形面积的取值范围.

8 . 已知点，是椭圆的左，右焦点，椭圆上一点满足轴，，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线交椭圆于两点，当的内切圆面积最大时，求直线的方程.

9 . 已知椭圆过点离心率为.

（1）求的方程；
（2）如图，若菱形内接于椭圆，求菱形面积的最小值.

10 . 已知椭圆：，过原点作射线交椭圆于，平行四边形的顶点，在椭圆上.
（1）若射线的斜率为，求直线的斜率；
（2）求证：四边形的面积为定值.