1 . 在椭圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，点在线段上，且满足.
(1)当点在椭圆上运动时，求点的轨迹的方程；
(2)若曲线与，轴的正半轴分别交于点，，点是上第三象限内一点，线段与轴交于点，线段与轴交于点，求四边形的面积.

2 . 已知椭圆的方程，右焦点为，且离心率为
(1)求椭圆的方程；
(2)设是椭圆的左、右顶点，过的直线交于两点（其中点在轴上方），求与的面积之比的取值范围.

3 . 已知椭圆C的焦点在x轴上，，分别为左、右焦点，对称中心为坐标原点，四个顶点围成的四边形的面积为，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)在椭圆上是否存在第一象限的点使得?若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由.

4 . 已知椭圆的焦距为2，点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若斜率为1的直线与椭圆相交于两点，为原点.求面积的最大值.

5 . 已知椭圆上的点到左、右焦点，的距离之和为，且离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线交椭圆于，两点，点与点关于轴对称，求面积的最大值.

6 . 已知点，是椭圆的左，右焦点，椭圆上一点满足轴，，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线交椭圆于两点，当的内切圆面积最大时，求直线的方程.

7 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，已知椭圆上存在点，使，且这样的点有且只有两个.
（1）求椭圆的离心率；
（2）过点的直线与椭圆相交于两点，且，是坐标原点，求的面积取得最大值时的椭圆方程.

8 . 已知直线与椭圆交于 两点，与直线交于点
（1）证明：与C相切；
（2）设线段 的中点为 ，且,求的方程.

9 . 顺次连接椭圆：的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于，两点，，其中为坐标原点，求．

10 . 已知椭圆的左、右焦点分别为也为抛物线的焦点，点为在第一象限的交点，且.
(I)求椭圆的方程；
(II)延长,交椭圆于点,交抛物线于点,求三角形的面积.