1 . 已知椭圆经过点，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交椭圆于，两点，是坐标原点，求的面积.

2 . 已知椭圆的左､右焦点分别为，设是第一象限内椭圆上一点，的延长线分别交椭圆于点，直线与交于点.

(1)当垂直于轴时，求直线的方程；
(2)记与的面积分别为，求的最大值.

3 . 已知椭圆的左、右焦点分别为、，设是第一象限内椭圆上一点，、的延长线分别交椭圆于点、，直线与交于点.

(1)当垂直于轴时，求直线的方程；
(2)若关于原点的对称点为，点在线段上，且满足，求面积的取值范围.

4 . 已知椭圆的左、右焦点是,且以为直径的圆的面积为,点P是椭圆C上任一点,且的面积的最大值为．
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l与椭圆C交于A,B两点,且原点O到直线l的距离为1,求面积的取值范围．

5 . 已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，过作不平行于坐标轴的直线交于A，B两点，且的周长为.
(1)求的方程；
(2)求面积的取值范围；
(3)若轴于点M，轴于点N，直线AN与BM交于点C，求证：点C在一条定直线上，并求此定直线．

6 . 已知椭圆：的两个焦点分别是，且
(1)求椭圆的方程；
(2)设点在椭圆上，且，求的余弦值及的面积.

7 . 已知点是圆上的动点，过点作轴的垂线段PD，D为垂足，点满足，当点运动时，设点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若过点且斜率为的直线与曲线交于A，B两点.
（i）求的取值范围；
（ii）求面积的最大值.

8 . 已知圆和定点，P是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点M，设动点M的轨迹为曲线E，且曲线E与直线相切.
(1)求曲线E的方程；
(2)若过点且斜率为k的直线l与曲线E交于A，B两点.
（ⅰ）求k的取值范围；
（ⅱ）求面积的最大值.

9 . 已知椭圆的短轴长为2，椭圆上的点到其焦点距离的最大值为．

(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆上的点的直线与，轴的交点分别为，，且，过原点的直线与平行，且与交于，两点，求面积的最大值．

10 . 如图，已知椭圆，的左右焦点是双曲线的左右顶点，的离心率为．点在上（异于两点），过点和分别作直线交椭圆于和点．

(1)求证：为定值；
(2)求证：为定值．