1 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的上､下顶点分别为，，左焦点为F，左顶点为A，椭圆过点，且.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过左焦点F且斜率为的动直线l与椭圆C交于P､Q两点，试问在x轴上是否存在一个定点M，使得x轴为的平分线？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

2 . 已知椭圆的长轴长为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆右顶点，过点作斜率不为的直线与曲线交于两点，求证：.

3 . 已知椭圆（）的左、右焦点为，，，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）的左顶点为，过右焦点的直线交椭圆于，两点，记直线，，的斜率分别为，，，求证：．

4 . 椭圆：（），离心率为，过点.
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）过的直线与椭圆交于，两点，椭圆左顶点为，求.

5 . 已知椭圆：的左，右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上，当时，的面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值；
（3）过点的直线与椭圆相切，且直线与圆相交于，两点，证明：．

7 . 已知，分别为椭圆：的左､右焦点，且离心率为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线：与椭圆相交于两点，且.问：的面积是否为定值？若是定值，求出结果，若不是，说明理由.

8 . 已知椭圆：，长轴为4，不过坐标原点且不平行于坐标轴的直线与椭圆有两个交点，，线段的中点为，直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线过右焦点，问轴上是否存在点，使得三角形为正三角形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由.

9 . 设椭圆的左顶点为，右顶点为，离心率，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作两条斜率为，的直线分别交椭圆于，（异于）两点．
（i）若，求证：直线过定点，并求出定点坐标；
（ii）设，在轴的上方，过作直线的平行线交椭圆于，若直线过椭圆的左焦点，求的值．

10 . 设椭圆的左顶点为，右顶点为，离心率，且椭圆过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作两条斜率为，的直线分别交椭圆于，（异于，）两点，设，在轴的上方，过点作直线的平行线交椭圆于点，若直线过椭圆的左焦点，求的值．