1 . 已知椭圆的左右顶点分别为A，B，点P为椭圆上异于A，B的任意一点.
(1)证明：直线PA与直线PB的斜率乘积为定值；
(2)设，过点Q作与轴不重合的任意直线交椭圆E于M，N两点.问：是否存在实数，使得以MN为直径的圆恒过定点A？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

2 . 已知椭圆的左右顶点分别为A，B，点P为椭圆上异于A，B的任意一点．
(1)证明：直线PA与直线PB的斜率乘积为定值；
(2)设，过点Q作与轴不重合的任意直线交椭圆E于M，N两点．问：是否存在实数，使得以MN为直径的圆恒过定点B？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

3 . 已知点在椭圆上，直线与椭圆C交于不同的两点A，B，当时，.
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线，分别交y轴于M，N两点，问：y轴上是否存在点Q，使得，，(O为坐标原点)成等比数列？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

4 . 已知椭圆的左顶点为点A，左右焦点分别为，成等比数列．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若点A为，经过焦点的圆M与y轴交于P，Q两点，直线分别交椭圆于D，E两点，求证：四边形是平行四边形．

5 . 已知经过原点O的直线与离心率为的椭圆交于A，B两点，、是椭圆C的左、右焦点，且面积的最大值为1.

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图所示，设点P是椭圆C上异于左右顶点的任意一点，过点Р的椭圆C的切线与交于点M.记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值，并求出该定值.

6 . 已知椭圆的上顶点为为椭圆上异于A的两点，且，则直线过定点（       ）

A．

B．

C．

D．

7 . 已知椭圆：的离心率为，短轴长为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线：与椭圆交于、两点，为坐标原点，若，求证：为定值.

8 . 已知椭圆：过点，点为其上顶点，且直线的斜率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为第四象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积是定值.

9 . 如图，已知焦点在轴上的椭圆的长轴长为，离心率为.

（1）求椭圆的方程；
（2）设为原点，椭圆的左、右两个顶点分别为、，点椭圆上与、不重合的任意一点，点和点关于轴对称，直线与直线交于点，求证：，两点的横坐标之积为定值．

10 . 已知椭圆的长轴长为4，且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线的斜率为，且与椭圆相交于，两点（异于点），过作的角平分线交椭圆于另一点.
（i）证明：直线与坐标轴平行；
（ii）当时，求四边形的面积