1 . 已知椭圆C：.
(1)求椭圆C的离心率和长轴长；
(2)已知直线与椭圆C有两个不同的交点A，B，P为x轴上一点.是否存在实数k，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k的值及点P的坐标；若不存在，说明理由.

2 . 已知椭圆焦距为2，一条连接椭圆的两个顶点的直线斜率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右焦点且不与轴重合的直线与椭圆相交于两点，试问轴上是否存在点，使得直线斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点的坐标；若不存在，说明理由.

3 . 已知满圆的离心率为，，分别为椭圆C的左右顶点．
B为椭圆C的上顶点，为椭圆C的左焦点，且的面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点的动直线l为椭圆于E、F两点（点E在x轴上方），M，N分别为直线与y轴的交点，O为坐标原点，来的值．

4 . 已知椭圆经过点，且离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点作直线l与椭圆C交于不同的两点M，N.问：x轴上是否存在点Q，使得直线MQ与直线NQ关于x轴对称？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由.

6 . 已知椭圆的离心率为，长轴长为4.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线不垂直于坐标轴，直线与椭圆交于两点，直线与轴交于点.点关于轴的对称点为点，直线与轴交于点.
①求证：两点的横坐标之积为定值4；
②若点的坐标为，求面积的取值范围.

8 . 已知椭圆的离心率为，O为坐标原点，F是椭圆C的右焦点，A为椭圆C上一点，且轴，.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C上一点的直线与直线AF相交于点M，与直线相交于点N.证明：为定值.

9 . 已知椭圆的离心率为，过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点、分别是椭圆的左顶点和上顶点，、为椭圆上异于、的两点，满足，求证：面积为定值．

10 . 已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为，，．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过的直线与椭圆交于不同的两点，过点作轴的垂线，与直线交于点，为线段的中点．证明：直线的斜率为定值．