1 . 已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，点，在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆的左、右顶点分别为，，，为椭圆上异于，的两点，直线不过且不与坐标轴垂直，点关于原点的对称点为，直线与直线相交于点，证明：直线与直线的交点在定直线上．

2 . 如图所示，在圆锥内放入两个球，它们都与圆锥的侧面相切（即与圆锥的每条母线相切），且这两个球都与平面α相切，切点分别为 ，数学家丹德林利用这个模型证明了平面α与圆锥侧面的交线为椭圆，记为Γ，为椭圆Γ的两个焦点.设直线分别与该圆锥的母线交于A，B两点，过点A的母线分别与球相切于 C，D 两点，已知以直线为x轴，在平面α内，以线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系.

(1)求椭圆Γ的标准方程.
(2)点 T在直线上，过点T作椭圆Γ的两条切线，切点分别为M，N，A，B分别是椭圆Γ的左、右顶点，连接，设直线与交于点P.证明:点 P 在直线上.

3 . 已知椭圆的离心率为，长轴长为4，是其左、右顶点，是其右焦点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设是椭圆上一点，的角平分线与直线交于点．
①求点的轨迹方程；
②若面积为，求．

4 . 已知椭圆：（）过点，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)记椭圆的上下顶点分别为，过点斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程.

5 . 已知椭圆的离心率为，点在上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于P，Q两点，过点作垂直于轴的直线与直线AQ相交于点，证明：线段PM的中点在定直线上．

6 . 已知椭圆的左顶点和下顶点B，焦距为，直线l交椭圆L于C，D（不同于椭圆的顶点）两点，直线AD交y轴于M，直线BC交x轴于N，且直线MN交l于P.
(1)求椭圆L的标准方程；
(2)若直线AD，BC的斜率相等，证明：点P在一条定直线上运动.

7 . 如图，是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上与均不重合的相异两点，设直线的斜率分别是
   
(1)求的值
(2)若直线过点，求证：为定值；
(3)设直线与轴的交点为，（为常数且，试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．

8 . 已知椭圆的离心率为，且经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于两点，过分别作轴的垂线，垂足为点，求证：直线与的交点在某条定直线上，并求该定直线的方程.

9 . 已知椭圆的离心率为，为上顶点，为左顶点，为上焦点，且.

(1)求的方程；
(2)设过点的直线交于，两点，过且垂直于轴的直线与直线交于点，证明：线段的中点在定直线上.

10 . 如图，已知椭圆的左顶点为，离心率为是直线上的两点，且，其中为坐标原点，直线与交于另外一点，直线与交于另外一点．

(1)记直线的斜率分别为，求的值；
(2)求点到直线的距离的最大值．