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1 . 已知曲线与曲线,且曲线和恰有两个不同的交点,则实数m的取值范围为____________ .
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2 . 双曲线的光学性质为:,是双曲线的左、右焦点,从发出的光线射在双曲线右支上一点,经点反射后,反射光线的反向延长线过(如图1);当异于双曲线顶点时,双曲线在点处的切线平分(如图2).我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”,就是利用了双曲线的这个光学性质.若双曲线的方程为,则下列结论正确的是( )
A.射线所在直线的斜率为,则 |
B.当时,的面积为 |
C.当时,若,则双曲线的离心率为 |
D.存在点,使双曲线在点处的切线经过原点 |
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3 . 双曲线的左、右焦点分别为、,过的直线与双曲线的右支交于,两点(其中点在第一象限).设,的内切圆半径为,,则的取值范围是( )
A. | B. |
C. | D. |
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4 . 已知双曲线C:的右顶点为M,过点的直线l交双曲线C于A,B两点,设直线MA的斜率为,直线MB的斜率为.
(1)求直线l斜率的取值范围;
(2)证明:为定值,并求出该定值;
(3)求的最大值.
(1)求直线l斜率的取值范围;
(2)证明:为定值,并求出该定值;
(3)求的最大值.
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5 . 已知双曲线的实轴长为2,且过点.
(1)求双曲线C的方程;
(2)设双曲线C的左,右顶点分别为A,B,点P在双曲线C上,过点P作双曲线的切线l与圆交于M,N两点(点M在点N的左侧),记AM,BN的斜率分别为,,证明:为定值.
(1)求双曲线C的方程;
(2)设双曲线C的左,右顶点分别为A,B,点P在双曲线C上,过点P作双曲线的切线l与圆交于M,N两点(点M在点N的左侧),记AM,BN的斜率分别为,,证明:为定值.
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6 . 已知双曲线的左、右焦点分别为、,左、右顶点分别为、,P为双曲线右支上的一点,且直线与的斜率之积等于2,过点P作双曲线C的切线与双曲线的渐近线交于M、N两点,则下列说法正确的有( )
A. |
B.若,则的面积为 |
C. |
D.的面积为 |
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7 . 设双曲线的离心率为,且顶点到渐近线的距离为.已知直线过点,直线l与双曲线C的左、右两支的交点分别为M、N,直线l与双曲线C的渐近线的交点为P、Q,其中点Q在y轴的右侧.设、、的面积分别是、、.
(1)求双曲线C的方程;
(2)求的取值范围.
(1)求双曲线C的方程;
(2)求的取值范围.
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8 . 在平面直角坐标系中,双曲线的左顶点到右焦点的距离是3,且的离心率是2.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)点是上位于第一象限的一点,点关于原点对称,点关于轴对称.延长至使得,且直线和的另一个交点位于第二象限中.
(ⅰ)求的取值范围,并判断是否成立?
(ⅱ)证明:不可能是的三等分线.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)点是上位于第一象限的一点,点关于原点对称,点关于轴对称.延长至使得,且直线和的另一个交点位于第二象限中.
(ⅰ)求的取值范围,并判断是否成立?
(ⅱ)证明:不可能是的三等分线.
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9 . 已知双曲线过点且焦距为10.
(1)求C的方程;
(2)过点作直线l与双曲线C交于P、Q两点,求直线l斜率的取值范围.
(3)已知点,E为线段AB上一点,且直线DE交C于G,H两点.证明:.
(1)求C的方程;
(2)过点作直线l与双曲线C交于P、Q两点,求直线l斜率的取值范围.
(3)已知点,E为线段AB上一点,且直线DE交C于G,H两点.证明:.
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10 . 已知,,点的轨迹方程为,则( )
A.点的轨迹为双曲线的一支 | B.直线上存在满足题意的点 |
C.满足的点共有2个 | D.的周长的取值范围是 |
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