1 . 已知双曲线实轴长为2，左、右两顶点分别为，，上的一点分别与，连线的斜率之积为3．
(1)求的方程；
(2)经过点的直线分别与的左、右支交于M，N两点，为坐标原点，的面积为，求的方程．

2 . 已知双曲线离心率为，，分别是左、右顶点，点是直线上一点，且满足，直线，分别交双曲线右支于，两点.记，的面积分别为，.
(1)求双曲线的方程；
(2)求的最大值.

3 . 已知双曲线的左顶点为A，虚轴上端点为，左、右焦点分别为，，离心率为，的面积为4．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过且与轴的夹角在内的直线交双曲线于两点，的面积为，求的方程．

4 . 已知双曲线，过点作直线交双曲线的两支分别于，两点，
(1)若点恰为的中点，求直线的斜率；
(2)记双曲线的右焦点为，直线，分别交双曲线于，两点，求的取值范围.

6 . 已知双曲线的实轴长为，C的一条渐近线斜率为，直线l交C于P，Q两点，点在双曲线C上.
(1)若直线l过C的右焦点，且斜率为，求的面积；
(2)设P，Q为双曲线C上异于点的两动点，记直线MP，MQ的斜率分别为，，若，求证：直线PQ过定点.

7 . 已知双曲线的离心率为，过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，且.

(1)求双曲线的标准方程;
(2)若直线：与双曲线的左、右两支分别交于两点，与双曲线的渐近线分别交于两点，求的取值范围.

8 . 已知双曲线的渐近线方程为，左右顶点为，设点，直线分别与双曲线交于两点（不同于）.
(1)求双曲线的方程；
(2)设的面积分别为，若，求直线方程.（写出一条即可）

9 . 已知双曲线的离心率为，点在双曲线上.
(1)求双曲线的方程；
(2)若点、在双曲线的左、右两支上，直线、均与圆相切，记直线、的斜率分别为、，的面积为.
①是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由.
②已知圆的面积为，求.

10 . 已知坐标原点为，抛物线为与双曲线在第一象限的交点为，为双曲线的上焦点，且的面积为3．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，切线，分别交轴于，，求与的面积之比．