1 . 已知双曲线
，点
，经过点M的直线交双曲线C于不同的两点A、B，过点A，B分别作双曲线C的切线，两切线交于点E．（二次曲线
在曲线上某点
处的切线方程为
）
(1)求证：点E恒在一条定直线L上；
(2)若两直线与L交于点N，
，求
的值；
(3)若点A、B都在双曲线C的右支上，过点A、B分别做直线L的垂线，垂足分别为P、Q，记
，
，
的面积分别为
，问：是否存在常数m，使得
？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
，点，经过点M的直线交双曲线C于不同的两点A、B，过点A，B分别作双曲线C的切线，两切线交于点E．（二次曲线在曲线上某点处的切线方程为）(1)求证：点E恒在一条定直线L上；
(2)若两直线与L交于点N，
，求的值；(3)若点A、B都在双曲线C的右支上，过点A、B分别做直线L的垂线，垂足分别为P、Q，记
，，的面积分别为，问：是否存在常数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
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2024-02-05更新
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1148次组卷
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2卷引用：辽宁省大连市2023-2024学年高二上学期期末数学试题
2 . 双曲线
和
的方程均满足
，其中的焦点在
轴上，顺次连接的两个焦点和的两个顶点恰好可以构成一个面积为4的正方形．
(1)求双曲线和的方程．
(2)若
为左支上一动点且不在轴上，过作的切线交
于
两点，过作的平行线交于
，顺次连接
四点构成四边形
，求证：四边形的面积为定值．
和的方程均满足，其中的焦点在轴上，顺次连接的两个焦点和的两个顶点恰好可以构成一个面积为4的正方形．(1)求双曲线
和的方程．(2)若
为左支上一动点且不在轴上，过作的切线交于两点，过作的平行线交于，顺次连接四点构成四边形，求证：四边形的面积为定值．
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名校
解题方法
3 . 已知双曲线C：
（
，
）的右顶点为A，左焦点为F，过点F且斜率为1的直线与C的一条渐近线垂直，垂足为N，且
．
(1)求C的方程．
(2)过点
的直线交C于
，
两点，直线AP，AQ分别交y轴于点G，H，试问在x轴上是否存在定点T，使得
？若存在，求点T的坐标；若不存在，请说明理由．
（，）的右顶点为A，左焦点为F，过点F且斜率为1的直线与C的一条渐近线垂直，垂足为N，且．(1)求C的方程．
(2)过点
的直线交C于，两点，直线AP，AQ分别交y轴于点G，H，试问在x轴上是否存在定点T，使得？若存在，求点T的坐标；若不存在，请说明理由．
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2024-01-04更新
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1092次组卷
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5卷引用：辽宁省辽阳市2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试卷
解题方法
4 . 已知双曲线
：的右焦点为
，渐近线方程为
．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设
为双曲线的右顶点，直线
与双曲线交于不同于的
，
两点，若以
为直径的圆经过点，且
于点
，证明：存在定点
，使
为定值．
：的右焦点为，渐近线方程为．(1)求双曲线
的标准方程；(2)设
为双曲线的右顶点，直线与双曲线交于不同于的，两点，若以为直径的圆经过点，且于点，证明：存在定点，使为定值．
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名校
解题方法
5 . 已知双曲线C：
过点
，右焦点F为
，左顶点为A
(1)求双曲线C的方程
(2)动直线
交双曲线C于M，N两点，求证：
的垂心在双曲线C上．
过点，右焦点F为，左顶点为A(1)求双曲线C的方程
(2)动直线
交双曲线C于M，N两点，求证：的垂心在双曲线C上．
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2023-12-30更新
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597次组卷
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2卷引用：辽宁省大连市第八中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题
名校
解题方法
6 . 已知双曲线
的离心率为2，焦点到渐近线的距离为
.
(1)求的标准方程；
(2)设不与渐近线平行的动直线与双曲线有且只有一个公共点
，且与直线
相交于点
，试探究：在焦点所在的坐标轴上是否存在定点
，使得以
为直径的圆恒过点？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.
的离心率为2，焦点到渐近线的距离为.(1)求
的标准方程；(2)设不与渐近线平行的动直线
与双曲线有且只有一个公共点，且与直线相交于点，试探究：在焦点所在的坐标轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.
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7 . 已知两定点
，满足条件
的点的轨迹是曲线，直线
与曲线交于
两个不同的点.
(1)求曲线的方程；
(2)求实数
的取值范围；
(3)设点
在直线上，过的两条不同的直线分别交曲线于
和
两点，且
，求直线
与直线的斜率之和.
，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两个不同的点.(1)求曲线
的方程；(2)求实数
的取值范围；(3)设点
在直线上，过的两条不同的直线分别交曲线于和两点，且，求直线与直线的斜率之和.
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名校
解题方法
8 . 设圆与两圆
，
中的一个内切，另一个外切，记圆的圆心轨迹为.
(1)求的方程；
(2)过曲线上一点
作两条直线
，
，且点
，点都在曲线上，若直线
的斜率为
，记直线的斜率为
，直线的斜率为
，试探究
是否为定值，若为定值请求出值，并说明理由.
与两圆，中的一个内切，另一个外切，记圆的圆心轨迹为.(1)求
的方程；(2)过曲线
上一点作两条直线，，且点，点都在曲线上，若直线的斜率为，记直线的斜率为，直线的斜率为，试探究是否为定值，若为定值请求出值，并说明理由.
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2023-11-19更新
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161次组卷
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3卷引用：辽宁省高级中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题
9 . 已知双曲线：（，）与椭圆
有公共焦点，的左、右焦点分别为
，
，且经过点
，则下列说法正确的是（ ）
：（，）与椭圆有公共焦点，的左、右焦点分别为，，且经过点，则下列说法正确的是（ ）A．双曲线的标准方程为 |
B．若直线 与双曲线无交点，则 |
C．设 ，过点 的动直线与双曲线交于，两点（异于点），若直线 与直线 的斜率存在，且分别记为，，则 |
D．若动直线斜率存在，且与双曲线恰有1个公共点，与双曲线的两条渐近线分别交于点， ，则 （ 为坐标原点）的面积为定值1 |
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2023-11-18更新
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602次组卷
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3卷引用：辽宁省大连育明高级中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷
23-24高二上·河南·期中
解题方法
10 . 已知双曲线
的一条渐近线方程是
，右焦点坐标为
.
(1)求的方程；
(2)若过点
的直线与交于，两点（，均在轴上方）；线段的中点为，点在线段上，且满足
，设直线
，
（为坐标原点）的斜率分别为，，证明：
为定值.
的一条渐近线方程是，右焦点坐标为.(1)求
的方程；(2)若过点
的直线与交于，两点（，均在轴上方）；线段的中点为，点在线段上，且满足，设直线，（为坐标原点）的斜率分别为，，证明：为定值.
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