2022·全国·模拟预测
1 . 直线l：kx－y－k＝0过抛物线C：
的焦点F，且与C交于不同的两点A，B．
(1)若
，
，
成等差数列，求实数k的值；
(2)试判断在x轴上存在多少个点
，总在以AB为直径的圆上．
的焦点F，且与C交于不同的两点A，B．(1)若
，，成等差数列，求实数k的值；(2)试判断在x轴上存在多少个点
，总在以AB为直径的圆上．
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解题方法
2 . 已知抛物线
的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点．
(1)当l的倾斜角为
时，若
，求
；
(2)设点
，且
，求l的方程．
的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点．(1)当l的倾斜角为
时，若，求；(2)设点
，且，求l的方程．
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解题方法
3 . 已知抛物线
的焦点为F，过F且不垂直于x轴的直线l交C于A，B两点，且当l的倾斜角为时，
．
(1)求C的方程；
(2)设P为x轴上一点，且
，证明：
的外接圆过定点．
的焦点为F，过F且不垂直于x轴的直线l交C于A，B两点，且当l的倾斜角为时，．(1)求C的方程；
(2)设P为x轴上一点，且
，证明：的外接圆过定点．
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名校
4 . 已知梯形ABCD的四个顶点都在抛物线
上，且
，直线AB过抛物线E的焦点F.
(1)若四边形ABCD为等腰梯形，求
；
(2)若直线AD与直线BC的交点为
，求实数
的值.
上，且，直线AB过抛物线E的焦点F.(1)若四边形ABCD为等腰梯形，求
；(2)若直线AD与直线BC的交点为
，求实数的值.
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5 . （1）直线l过抛物线的焦点，且与抛物线相交于
、
两点，证明：
；
（2）直线l过抛物线的焦点，且与抛物线相交于、两点，点C在抛物线的准线上，且
轴，证明：直线AC经过原点．
的焦点，且与抛物线相交于、两点，证明：；（2）直线l过抛物线
的焦点，且与抛物线相交于、两点，点C在抛物线的准线上，且轴，证明：直线AC经过原点．
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解题方法
6 . 已知抛物线C：的焦点为F，点
在抛物线C上，且
．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若AB是过抛物线C的焦点F的弦，求证：以弦AB为直径的圆与抛物线C的准线相切．
的焦点为F，点在抛物线C上，且．(1)求抛物线C的方程；
(2)若AB是过抛物线C的焦点F的弦，求证：以弦AB为直径的圆与抛物线C的准线相切．
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解题方法
7 . 已知AB是抛物线
上任意一条焦点弦，且
、
．
(1)求证：，
；
(2)若弦AB被焦点分成长为m、n的两部分，求证：
．
上任意一条焦点弦，且、．(1)求证：
，；(2)若弦AB被焦点分成长为m、n的两部分，求证：
．
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解题方法
8 . 在水平桌面上放一只内壁光滑的玻璃水杯，已知水杯内壁为抛物面型（抛物面指抛物线绕其对称轴旋转
所得到的面），抛物面的轴截面是如图所示的抛物线.现有一些长短不一､质地均匀的细直金属棒，其长度均不小于抛物线通径的长度（通径是过抛物线焦点，且与抛物线的对称轴垂直的直线被抛物线截得的弦），若将这些细直金属棒，随意丢入该水杯中，实验发现：当细棒重心最低时，达到静止状态，此时细棒交汇于一点.
(1)请结合你学过的数学知识，猜想细棒交汇点的位置；
(2)以玻璃水杯内壁轴截面的抛物线顶点为原点，建立如图所示直角坐标系.设玻璃水杯内壁轴截面的抛物线方程为
，将细直金属棒视为抛物线的弦
，且弦长度为
，以细直金属棒的中点为其重心，请从数学角度解释上述实验现象.
所得到的面），抛物面的轴截面是如图所示的抛物线.现有一些长短不一､质地均匀的细直金属棒，其长度均不小于抛物线通径的长度（通径是过抛物线焦点，且与抛物线的对称轴垂直的直线被抛物线截得的弦），若将这些细直金属棒，随意丢入该水杯中，实验发现：当细棒重心最低时，达到静止状态，此时细棒交汇于一点.(1)请结合你学过的数学知识，猜想细棒交汇点的位置；
(2)以玻璃水杯内壁轴截面的抛物线顶点为原点，建立如图所示直角坐标系.设玻璃水杯内壁轴截面的抛物线方程为
，将细直金属棒视为抛物线的弦，且弦长度为，以细直金属棒的中点为其重心，请从数学角度解释上述实验现象.
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9 . 已知双曲线C1：
，抛物线C2：
（
），F为C2的焦点，过F垂直于x轴的直线l被抛物线C2截得的弦长等于双曲线C1的实轴长．
(1)求抛物线C2的方程；
(2)过焦点F作互相垂直的两条直线，与抛物线C2分别相交于点A、B和C、D，点P、Q分别为AB、CD的中点，求△FPQ面积的最小值．
，抛物线C2：（），F为C2的焦点，过F垂直于x轴的直线l被抛物线C2截得的弦长等于双曲线C1的实轴长．(1)求抛物线C2的方程；
(2)过焦点F作互相垂直的两条直线，与抛物线C2分别相交于点A、B和C、D，点P、Q分别为AB、CD的中点，求△FPQ面积的最小值．
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2022-03-26更新
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773次组卷
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6卷引用：湖南省名校联考联合体2021-2022学年高二下学期3月联考数学试题
10 . 在平面直角坐标系
中，圆
外的点
在
轴的右侧运动，且到圆
上的点的最小距离等于它到轴的距离，记的轨迹为
．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于
，
两点，以为直径的圆
与平行于轴的直线相切于点
，线段
交于点
，证明：是的中点．
中，圆外的点在轴的右侧运动，且到圆上的点的最小距离等于它到轴的距离，记的轨迹为．(1)求
的方程；(2)过点
的直线交于，两点，以为直径的圆与平行于轴的直线相切于点，线段交于点，证明：是的中点．
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