解题方法
1 . 已知抛物线C：
（
）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作
，垂足为B，且
，
．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过焦点F作斜率为k的直线
交抛物线C于P，Q两点，点M，N在x轴上，且满足
，
，求
的最小值．
（）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作，垂足为B，且，．(1)求抛物线C的方程；
(2)过焦点F作斜率为k的直线
交抛物线C于P，Q两点，点M，N在x轴上，且满足，，求的最小值．
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名校
解题方法
2 . 已知抛物线
的焦点为
，过拋物线
上一点
向其准线作垂线，垂足为
，当
时，
.
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线
与抛物线交于
两点，与
轴分别交于
（异于坐标原点
），且
，若
，求实数
的取值范围.
的焦点为，过拋物线上一点向其准线作垂线，垂足为，当时，.(1)求抛物线
的方程；(2)设直线
与抛物线交于两点，与轴分别交于（异于坐标原点），且，若，求实数的取值范围.
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2023-02-13更新
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546次组卷
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4卷引用：山东省烟台市龙口市龙口第一中学东校2022-2023学年高二上学期期末数学试题
解题方法
3 . 设抛物线
的焦点为，过点的直线与交于两点，
.
(1)求抛物线的方程；
(2)
为上异于的任意一点，直线
分别与的准线相交于
两点，证明：以线段
为直径的圆经过
轴上的两个定点.
的焦点为，过点的直线与交于两点，.(1)求抛物线
的方程；(2)
为上异于的任意一点，直线分别与的准线相交于两点，证明：以线段为直径的圆经过轴上的两个定点.
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4 . 如图，已知抛物线C：
，过焦点F斜率大于零的直线l交抛物线于A、B两点，且与其准线交于点D．
(1)若线段AB的长为5，求直线的方程；
(2)在C上是否存在点M，使得对任意直线l，直线
的斜率始终成等差数列，若存在求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
，过焦点F斜率大于零的直线l交抛物线于A、B两点，且与其准线交于点D．(1)若线段AB的长为5，求直线
的方程；(2)在C上是否存在点M，使得对任意直线l，直线
的斜率始终成等差数列，若存在求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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5 . 已知抛物线
的焦点为.
(1)求抛物线
的准线方程；
(2)若过点的直线与抛物线交于
，
两点，线段
的中垂线与抛物线的准线交于点，请问是否存在直线，使得
.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
的焦点为.(1)求抛物线
的准线方程；(2)若过点
的直线与抛物线交于，两点，线段的中垂线与抛物线的准线交于点，请问是否存在直线，使得.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
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6 . 直线过抛物线
的焦点，且与抛物线交于
，
不同的两点，点在抛物线的准线上，且
//轴.
(1)证明：
；
(2)判断直线
是否经过坐标原点，并说明理由.
过抛物线的焦点，且与抛物线交于，不同的两点，点在抛物线的准线上，且//轴.(1)证明：
；(2)判断直线
是否经过坐标原点，并说明理由.
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名校
解题方法
7 . 在平面直角坐标系中，为坐标原点，椭圆
的方程为
，抛物线
的焦点为，
上不同两点M，N同时满足下列三个条件中的两个：①
；②
；③MN的方程为
.
(1)请分析说明两点M，N满足的是哪两个条件？并求出抛物线的标准方程；
(2)设直线与相交于A，B两点，线段AB的中点为
，且与相切于点，与直线
交于点
，以PQ为直径的圆与直线交于Q，E两点，求证：O，G，E三点共线.
为坐标原点，椭圆的方程为，抛物线的焦点为，上不同两点M，N同时满足下列三个条件中的两个：①；②；③MN的方程为.(1)请分析说明两点M，N满足的是哪两个条件？并求出抛物线
的标准方程；(2)设直线
与相交于A，B两点，线段AB的中点为，且与相切于点，与直线交于点，以PQ为直径的圆与直线交于Q，E两点，求证：O，G，E三点共线.
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2022-05-12更新
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1261次组卷
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3卷引用：辽宁省部分重点中学协作体2022届高三下学期高考模拟考试数学试题
名校
解题方法
8 . 已知抛物线
的焦点为F，抛物线H上的一点M的横坐标为5，为坐标原点，
．
(1)求抛物线H的方程；
(2)若一直线经过抛物线H的焦点F，与抛物线H交于A，B两点，点C为直线
上的动点．
①求证：
．
②是否存在这样的点C，使得△ABC为正三角形?若存在，求点C的坐标；若不存在，说明理由，
的焦点为F，抛物线H上的一点M的横坐标为5，为坐标原点，．(1)求抛物线H的方程；
(2)若一直线经过抛物线H的焦点F，与抛物线H交于A，B两点，点C为直线
上的动点．①求证：
．②是否存在这样的点C，使得△ABC为正三角形?若存在，求点C的坐标；若不存在，说明理由，
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2022-05-11更新
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1193次组卷
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3卷引用：山东省临沂市2022届高三二模考试数学试题
9 . 已知抛物线，直线
与抛物线交于、两点（在的上方）.
(1)若过抛物线的焦点，且垂直于轴时，
，求此时抛物线的方程；
(2)若直线的斜率
，过点作直线的垂线
交抛物线于另外一点，当
，且
的重心落在直线
上时，求直线的斜率.
，直线与抛物线交于、两点（在的上方）.(1)若
过抛物线的焦点，且垂直于轴时，，求此时抛物线的方程；(2)若直线
的斜率，过点作直线的垂线交抛物线于另外一点，当，且的重心落在直线上时，求直线的斜率.
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解题方法
10 . 在水平桌面上放一只内壁光滑的玻璃水杯，已知水杯内壁为抛物面型（抛物面指抛物线绕其对称轴旋转
所得到的面），抛物面的轴截面是如图所示的抛物线.现有一些长短不一､质地均匀的细直金属棒，其长度均不小于抛物线通径的长度（通径是过抛物线焦点，且与抛物线的对称轴垂直的直线被抛物线截得的弦），若将这些细直金属棒，随意丢入该水杯中，实验发现：当细棒重心最低时，达到静止状态，此时细棒交汇于一点.
(1)请结合你学过的数学知识，猜想细棒交汇点的位置；
(2)以玻璃水杯内壁轴截面的抛物线顶点为原点，建立如图所示直角坐标系.设玻璃水杯内壁轴截面的抛物线方程为
，将细直金属棒视为抛物线的弦，且弦长度为
，以细直金属棒的中点为其重心，请从数学角度解释上述实验现象.
所得到的面），抛物面的轴截面是如图所示的抛物线.现有一些长短不一､质地均匀的细直金属棒，其长度均不小于抛物线通径的长度（通径是过抛物线焦点，且与抛物线的对称轴垂直的直线被抛物线截得的弦），若将这些细直金属棒，随意丢入该水杯中，实验发现：当细棒重心最低时，达到静止状态，此时细棒交汇于一点.(1)请结合你学过的数学知识，猜想细棒交汇点的位置；
(2)以玻璃水杯内壁轴截面的抛物线顶点为原点，建立如图所示直角坐标系.设玻璃水杯内壁轴截面的抛物线方程为
，将细直金属棒视为抛物线的弦，且弦长度为，以细直金属棒的中点为其重心，请从数学角度解释上述实验现象.
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