1 . 已知椭圆：的离心率为，右焦点为F，点在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线交椭圆于，两点，交直线于点，设，，求证：为定值．

2 . 已知两点，动点在轴上的投影是，且.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过作互相垂直的两条直线交轨迹于，且分别是的中点.求证：直线恒过定点.

3 . 已知椭圆经过点，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若，是椭圆的左右顶点，过点作直线与轴垂直，点是椭圆上的任意一点（不同于椭圆的四个顶点），联结，交直线于点，点为线段的中点，求证：直线与椭圆只有一个公共点．

4 . 已知椭圆过点，且离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若点，是椭圆上的两点，且，点，证明：不可能为等边三角形.

5 . 已知椭圆：．
（1）椭圆的短轴端点分别为，（如图），直线，分别与椭圆交于，两点，其中点满足，且．

①证明直线与轴交点的位置与无关；
②若△面积是△面积的5倍，求的值；
（2）若圆：．，是过点的两条互相垂直的直线，其中交圆于、两点，交椭圆于另一点．求△面积取最大值时直线的方程．

6 . 已知焦点在轴上的椭圆的中心是原点，离心率为双曲线离心率的一半，直线被椭圆截得的线段长为.直线：与轴交于点，与椭圆交于两个相异点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在实数，使？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.

7 . 已知椭圆（）经过点，且其离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点．设直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）当时，求的面积的最大值；
（III）以线段，为邻边作平行四边形，若点在椭圆上，且满足，求实数的取值范围．

8 . 已知椭圆（）的离心率为，短轴的一个端点为.过椭圆左顶点的直线与椭圆的另一交点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若与直线交于点，求的值；
（3）若，求直线的倾斜角.

9 . 已知直线过点，且倾斜角为，椭圆：的左焦点为，离心率．
（Ⅰ）求直线和椭圆的方程；
（Ⅱ）求证：直线和椭圆有两个交点；
（Ⅲ）设直线和椭圆的两个交点为，，求证：以线段为直径的圆经过点．

10 . 已知椭圆的中心为，右顶点为，在线段上任意选定一点，过点作与轴垂直的直线交于两点.
（Ⅰ）若椭圆的长半轴为2，离心率，
（ⅰ）求椭圆的标准方程；
（ⅱ）若，点在的延长线上，且成等比数列，试证明直线与相切；
（Ⅱ）试猜想过椭圆上一点的切线方程的一种方法，再加以证明.