1 . 已知分别为椭圆的左、右焦点，M为上的一点．

（1）若点M的坐标为，求的面积；
（2）若点M的坐标，且直线与交于两不同点A、B，求证：为定值，并求出该定值；
（3）如图，设点M的坐标为，过坐标原点O作圆（其中r为定值，且）的两条切线，分别交于点P，Q，直线的斜率分别记为．如果为定值，试问：是否存在锐角，使？若存在，试求出的一个值；若不存在，请说明理由．

2 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点，△的周长为6.

（1）求椭圆的方程；
（2）在轴上任取一点，直线与直线相交于点，求的最大值；
（3）设点在椭圆上，记△与△的面积分别为、，且，若满足条件的点恰有3个，求实数的值.

3 . 已知椭圆的左、右焦点分别为、，长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点，直线l经过点，倾斜角为45°，与椭圆交于A、B两点.
（1）若，求椭圆方程；
（2）对（1）中椭圆，求的面积；
（3）M是椭圆上任意一点，若存在实数，，使得，试确定，满足的等式关系.

4 . 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：，过点的动直线与椭圆交于，两点.

（1）求证：为定值；
（2）求面积的最大值.

5 . 已知椭圆的短轴长为2，离心率为，，分别是椭圆的右顶点和下顶点.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知是椭圆内一点，直线与的斜率之积为，直线分别交椭圆于两点，记，的面积分别为，.
①若两点关于轴对称，求直线的斜率；
②证明：.

6 . 已知、是双曲线的两个顶点，点是双曲线上异于、的一点，为坐标原点，射线交椭圆于点，设直线、、、的斜率分别为、、、.
（1）若双曲线的渐近线方程是，且过点，求的方程；
（2）在（1）的条件下，如果，求的面积；
（3）试问：是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由.

7 . 已知椭圆：的长轴长为，右顶点到左焦点的距离为，直线l：与椭圆交于A，B两点．

求椭圆的方程；
若A为椭圆的上顶点，M为AB中点，O为坐标原点，连接OM并延长交椭圆于N，，求k的值．
若原点O到直线l的距离为1，，当时，求的面积S的范围．

8 . 已知A、B、C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点.
(I)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积.
(II)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.

9 . 椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点，当的周长最大时，的面积是______________.

10 . 设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C₁，直线l交C₁于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.