1 . 已知椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，右焦点为，离心率为，其中．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设是椭圆上异于的任意一点，过点且与椭圆相切的直线与，分别交于两点，以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点坐标；如果不存在，请说明理由．

2 . A，B为椭圆的左右顶点，，E为椭圆C上任意一点（异于左右顶点）， 设AE，BE的斜率分别为k₁和k₂，，
（1）求椭圆C的方程；
（2）设动直线与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q，试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

3 . 已知椭圆C经过点，且与椭圆E：有相同的焦点.

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点A，B在椭圆C上，且线段的中点坐标为，求直线的斜率；
（3）若动直线与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线交于点Q，问：以线段为直径的圆是否经过x轴上的定点M﹖若存在.求出定点M的坐标；若不存在.请说明理由.

4 . 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点.过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）当直线l的斜率为2时，求的面积；
（3）在线段OF上是否存在点M(m，0)，使得为等腰三角形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.

5 . 已知椭圆的离心率为经过点P(0，1)与椭圆C的右顶点的直线斜率为
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P且与x轴不垂直的直线l与椭圆C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点N，使得恒成立？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

6 . 已知直线，圆，直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等，椭圆的离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的动直线交椭圆于，两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

7 . 已知动点C是椭圆：上的任意一点，是圆G：的一条直径（A，B是端点），的最大值是.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知椭圆的左、右焦点分别为点，过点且与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点.在线段上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.

8 . 已知椭圆的一条弦的中点为．

（1）若直线的斜率为且不过坐标原点，求直线的斜率；
（2）若直线过椭圆的右焦点，且不与轴垂直，斜率不为零，试问在轴上是否存在一点，使，且以为直径的圆恰好经过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

9 . 已知椭圆C：的右焦点为，过的直线与C交于两点.当与轴垂直时，线段长度为1. 为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）若对任意的直线，点总满足，求实数的值.
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求面积的最大值.

10 . 已知椭圆的离心率为，其左､右焦点分别为，，点是坐标平面内一点，且，(O为坐标原点).
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由.