1 . 已知椭圆：的三个顶点构成边长为4的等边三角形．
(1)求的标准方程；
(2)已知直线的倾斜角为锐角，分别与轴、轴相交于点，，与相交于，两点，且为线段的中点，关于轴的对称点为，直线与的一个交点为．
（i）证明：直线与的斜率之比为定值；
（ii）当直线的倾斜角最小时，求的方程．

2 . 已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，点O到直线AB的距离为，的面积为1.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线l与椭圆交于C，D两点，若直线l∥直线AB，设直线AC，BD的斜率分别为，证明：为定值．

3 . 已知椭圆的左右顶点分别为，，离心率为，且过点．
（1）求椭圆的标准方程;
（2）过点作与轴不重合的直线与椭圆相交于，两点(在，之间)．证明:直线与直线的交点的横坐标是定值．

4 . 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程.
（2）设动直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于，两点.在轴上是否存在定点，使得恒成立.若存在，求点的坐标.若不存在，请说明理由.

5 . 过点作圆的切线，切点分别为，.直线恰好经过椭圆的右顶点和上顶点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上一点，直线交轴于点，直线交轴于点，求证：为定值.

6 . 已知椭圆经过点，长轴长是短轴长的2倍.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线经过点且与椭圆相交于，两点（异于点），记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值.

7 . 已知椭圆：的左右焦点分别为，且离心率为，点为椭圆上一动点，面积的最大值为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设分别为椭圆的左右顶点，过点作轴的垂线，为上异于点的一点，以为直径作圆.若过点的直线（异于轴）与圆相切于点，且与直线相交于点，试判断是否为定值，并说明理由.

8 . 椭圆E：的左、右焦点分别为、，过且斜率为 的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设直线与椭圆E交于A，C两点，与x轴交于点H，设AC的中点为Q，试问是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

9 . 已知椭圆：的离心率，它的一个顶点在抛物线的准线上.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设是椭圆上两点，已知，且.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ)判断的面积是否为定值？若是,求出该定值，不是请说明理由.

10 . 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好经过抛物线的准线，且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线的方程为.是经过椭圆左焦点的任一弦，设直线与直线相交于点，记的斜率分别为.试探索之间有怎样的关系式？给出证明过程.