1 . 如图所示，为椭圆的左､右顶点，焦距长为，点在椭圆上，直线的斜率之积为.

(1)求椭圆的方程；
(2)已知为坐标原点，点，直线交椭圆于点不重合），直线交于点.求证：直线的斜率之积为定值，并求出该定值.

2 . 在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为.
(1)求轨迹的方程；
(2)已知A，B，D为轨迹上三个不同的点，且满足（其中为坐标原点），探索面积是否为定值，若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.

3 . 已知椭圆的离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．

(1)求椭圆的方程；
(2)如图，、是椭圆的左、右顶点，过点且斜率不为的直线交椭圆于点、，直线与直线交于点．记、、的斜率分别为、、，是否存在实数，使得？

4 . 已知椭圆的左､右焦点为，，且左焦点坐标为，为椭圆上的一个动点，的最大值为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于两点，点，记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：.

5 . 在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，直线，．相交于点M且它们的斜率之积是，记动点M的轨迹为曲线E．过点作直线l交曲线E于P，Q两点，且点P位于x轴上方．记直线，的斜率分别为，．
(1)证明：为定值：
(2)设点Q关于x轴的对称点为，求面积的最大值．

6 . 设、分别为椭圆的左、右顶点，设是椭圆下顶点，直线与斜率之积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若一动圆的圆心在椭圆上运动，半径为．过原点作动圆的两条切线，分别交椭圆于、两点，试证明为定值．

7 . 已知椭圆经过点，左焦点为F，．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点作直线l交椭圆C于A、B两点，过点F且垂直于x轴的直线交直线l于点E，记，求证：．

8 . 在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：，点M，的坐标分别为，，且N为该平面内一点，以MN为直径的圆内切于圆O，记点N的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程．
(2)已知P为曲线C上一点，过原点O作以P为圆心，为半径的圆的两条切线，分别交曲线C于A，B两点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

9 . 已知椭圆过点，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若动直线l与椭圆C交于A､B两点，O为坐标原点，且的面积为，试问是否为定值？若为定值，求出这个定值，若不是，请说明理由.

10 . 已知椭圆的左右焦点分别为，，且椭圆C上的点M满足，.

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若在x轴上存在一点E，使得过点E的任意一条直线l与椭圆的两个交点P、Q，都有为定值，试求出此定值.