1 . 已知椭圆 ，直线l：与椭圆交于两点，且点位于第一象限.
(1)若点是椭圆的右顶点，当时，证明：直线和的斜率之积为定值；
(2)当直线过椭圆的右焦点时，轴上是否存在定点，使点到直线 的距离与点到直线的距离相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

2 . 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作方向向量的直线l交椭圆C于A、B两点，求证：为定值．

3 . 已知椭圆的长轴长为，，为的左、右焦点，点在上运动，且的最小值为.连接，并延长分别交椭圆于，两点.

(1)求的方程；
(2)证明：为定值.

4 . 如图，椭圆：（，，是椭圆的左焦点，是椭圆的左顶点，是椭圆的上顶点，且，点是长轴上的任一定点，过点的任一直线交椭圆于两点.

(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在定点，使得为定值，若存在，试求出定点的坐标，并求出此定值；若不存在，请说明理由.

5 . 已知椭圆，过原点的两条直线和分别与椭圆交于和，记得到的平行四边形的面积为．
(1)设，用的坐标表示点到直线的距离，并证明；
(2)请从①②两个问题中任选一个作答
①设与的斜率之积，求面积的值．
②设与的斜率之积为．求的值，使得无论与如何变动，面积保持不变．

6 . 已知椭圆为其左焦点，在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程.
(2)若A，B是椭圆C上不同的两点，O为坐标原点，若，是否存在某定圆始终与直线相切？若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由.

7 . 已知椭圆经过点 ，离心率为，过点的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线AM和直线AN的斜率分别为和 ，求证：为定值

8 . 已知椭圆的上､下焦点分别为，，左､右顶点分别为，，且四边形是面积为8的正方形.
(1)求C的标准方程.
(2)M，N为C上且在y轴右侧的两点，，与的交点为P，试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.

9 . 如图，椭圆的两顶点，，离心率，过y轴上的点的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P，直线与直线交于点Q.

(1)当且时，求直线l的方程；
(2)当点P异于A，B两点时，设点P与点Q横坐标分别为，，是否存在常数使成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

10 . 已知椭圆的左，右焦点为，椭圆的离心率为，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点T为椭圆C上的点，若点T在第一象限，且与x轴垂直，过T作两条斜率互为相反数的直线分别与椭圆C交于点M，N，探究直线的斜率是否为定值？若为定值，请求之；若不为定值，请说明理由．