1 . 已知椭圆C：的离心率，且经过点.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)如果斜率为的直线EF与椭圆交于两个不同的点E、F，试判断直线AE、AF的斜率之和是否为定值，若是请求出此定值；若不是，请说明理由.
(3)试求三角形面积S取得最大值时，直线EF的方程.

2 . 已知椭圆：过点，且该椭圆长轴长是短轴长的二倍.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点关于原点对称的点为，过点且斜率存在的直线交椭圆于点M，N，直线MA，NA分别交直线于点P，Q，求证为定值.

3 . 已知椭圆：的离心率为，直线过椭圆的两个顶点，且原点到直线的距离为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点，过点的直线不经过点，且与椭圆交于，两点，证明：直线的斜率与直线的斜率之和是定值.

4 . 已知椭圆的离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．

(1)求椭圆的方程；
(2)如图，、是椭圆的左、右顶点，过点且斜率不为的直线交椭圆于点、，直线与直线交于点．记、、的斜率分别为、、，是否存在实数，使得？

5 . 设、分别为椭圆的左、右顶点，设是椭圆下顶点，直线与斜率之积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若一动圆的圆心在椭圆上运动，半径为．过原点作动圆的两条切线，分别交椭圆于、两点，试证明为定值．

6 . 已知椭圆为其左焦点，在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程.
(2)若A，B是椭圆C上不同的两点，O为坐标原点，若，是否存在某定圆始终与直线相切？若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由.

7 . 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点为短轴的上端点，，过垂直于轴的直线交椭圆于、两点，.
(1)求椭圆的方程；
(2)设经过点且不经过点的直线与相交于、两点，若、分别为直线、的斜率，求的值.

8 . 给定椭圆，称圆心在原点O，半径为的圆为椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F的距离为.
(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程；
(2)若点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线，交“准圆”于点M，N，判断及线段是否都为定值，若为定值，求出定值，若不是定值，说明理由.

9 . 已知椭圆的焦距为2c，左､右焦点分别是，，其离心率为，圆与圆相交，两圆的交点在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程.
(2)已知A，B，C为椭圆E上三个不同的点，O为坐标原点，且O为△ABC的重心.证明：△ABC的面积为定值.

10 . 椭圆经过点，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形.
(1)求椭圆的方程；
(2)设，过椭圆的右焦点作直线交于、两点，试问：是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.