1 . 设为坐标原点，已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点.
（1）当直线经过点时，求的值；
（2）过点作不经过原点的两条直线，分别与抛物线和圆：相切于点，，求证：，，三点共线.

2 . 设，动圆C经过点，且被y轴截得的弦长为2p，记动圆圆心C的轨迹为E．
Ⅰ求轨迹E的方程；
Ⅱ求证：在轨迹E上存在点A，B，使得为坐标原点是以A为直角顶点的等腰直角三角形．

3 . 已知抛物线 ，M为直线上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA,MB，切点分别为A,B.
（1）当M的坐标为(0,-1)时，求过M,A,B三点的圆的方程；
（2）证明：以为直径的圆恒过点M.

4 . 已知抛物线，过点的直线与抛物线相切，设第一象限的切点为.
（Ⅰ）证明：点在轴上的射影为焦点；
（Ⅱ）若过点的直线与抛物线相交于两点，圆是以线段为直径的圆且过点，求直线与圆的方程.

5 . 设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．
（1）当与轴垂直时，求直线的方程；
（2）证明：．

6 . 已知曲线由抛物线及抛物线组成，直线：（）与曲线有（）个公共点.
(1)若，求的最小值；
(2)若，记这个交点为，，，其中在第一象限，，证明：

7 . 已知动圆过定点，且在轴上截得弦的长为4.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)设，过点斜率为的直线交轨迹于两点， 的延长线交轨迹于两点.记直线的斜率为，证明：为定值，并求出这个定值.

8 . 已知抛物线C：y²＝2px过点P(1,1)．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A为线段BM的中点．