1 . 已知直线过定点，动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，设动圆圆心轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)点，，为上的两个动点，若，，恰好为平行四边形的其中三个顶点，且该平行四边形对角线的交点在上，记平行四边形的面积为，求证：.

2 . 设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点、．当直线垂直于轴时，．

(1)求抛物线的标准方程．
(2)已知点，直线、分别与抛物线交于点、.
①求证：直线过定点；
②求与面积之和的最小值．

3 . 已知抛物线的焦点为， 过的直线交于两点， 过与垂直的直线交于两点，其中在轴左侧，分别为的中点，且直线过定点.
(1)求抛物线的方程；
(2)设为直线与直线的交点;
（i）证明在定直线上；
（ii）求面积的最小值.

4 . 在平面直角坐标系中，动点C到点的距离与到直线的距离相等.
(1)求动点C的轨迹方程；
(2)若直线与动点C的轨迹交于P，Q两点，当的面积为2时，求直线l的方程.

5 . 已知抛物线的焦点为．
(1)已知过点的直线与抛物线相交于两点，求证：以为直径的圆与直线相切；
(2)若直线交抛物线于两点，当的面积为2时，求直线的方程．

6 . 已知拋物线：的焦点为.
(1)求拋物线的方程；
(2)过点的直线与抛物线交于A，B两点，为坐标原点，设点关于直线的对称点为，求四边形面积的最小值.

7 . 已知过点的直线与抛物线（）交于，两点，且当的斜率为时，恰为中点．
(1)求的值；
(2)当经过抛物线的焦点时，求的面积．

8 . 已知抛物线的焦点为，过抛物线上除原点外任一点作抛物线准线的垂线，垂足为，直线是的角平分线．
(1)求直线与抛物线交点的个数；
(2)直线与抛物线的准线相交于点，过作抛物线的切线，切点为（不与点重合），求面积的最小值．

9 . 已知抛物线与直线相交于A、B两点．
(1)求证：；
(2)当的面积等于时，求k的值．

10 . 已知过点的直线与抛物线相交于A，B两点，M为线段AB的中点，过M作x轴的垂线与抛物线交于点N.
(1)若抛物线在N点处的切线的斜率等于2，求直线AB的方程；
(2)设，求与面积之差的最大值.