1 . 抛物线的图象经过点，焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于点，，如图．

   

(1)求抛物线的标准方程；
(2)当时，求弦的长；
(3)已知点，直线，分别与抛物线交于点，．证明：直线过定点．

2 . 已知双曲线的焦点为，且过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作斜率分别为的直线，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，点分别是的中点，若，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理由．

3 . 已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，若动点的轨迹记为曲线．
(1)求的方程；
(2)不过点的直线与交于两点，且，若的垂直平分线交轴于点，证明：为定点．

4 . 已知抛物线C：（）过点，F为C的焦点，A，B为C上不同于原点O的两点.
(1)若，试探究直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由；
(2)若，求面积的最小值.

5 . 已知抛物线：，为坐标原点，直线与抛物线交于，两点，且直线，斜率之积为，则点到直线的最大距离为______.

6 . 两条动直线和分别与抛物线相交于不同于原点的A，B两点，当的垂心恰是C的焦点时，.
(1)求p；
(2)若，弦中点为P，点关于直线的对称点N在抛物线C上，求的面积.

7 . 已知A，B，C是抛物线上三点，且，，垂足为D.
(1)当C的坐标为时，求点D的轨迹方程；
(2)当C的坐标为时，是否存在点Q，使得为定值，若存在，求出Q的坐标；若不存在，请说明理由.

8 . 已知抛物线的焦点为，为上一点，且.
(1)求的方程；
(2)过点且斜率存在的直线与交于不同的两点，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点.
（i）求点的坐标；
（ii）求与的面积之和的最小值.

9 . 已知抛物线的焦点为为上一点且纵坐标为4，轴于点，且．
(1)求的值；
(2)已知点是抛物线上不同的两点，且满足．证明：直线恒过定点．

10 . 已知抛物线上的点到焦点的距离为．
(1)求抛物线的方程；
(2)点在抛物线上，直线与抛物线交于两点（第一象限），过点作轴的垂线交于点，直线与直线、分别交于点（为坐标原点），且，证明：直线过定点．