1 . 已知双曲线：的一个焦点与抛物线：的焦点重合.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线：交抛物线于A、B两点，O为原点，求证：以为直径的圆经过原点O.

2 . 已知抛物线的焦点，为坐标原点，、是抛物线上异于的两点．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线、的斜率之积为，求证：直线过轴上一定点．

3 . 已知抛物线：的焦点为，其准线与轴交于点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)已知为坐标原点，直线与抛物线交于，两点，且，问直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；
(3)在（2）的条件下求面积的最小值．

4 . 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，当时，为坐标原点）是等边三角形.
(1)求抛物线的方程.
(2)延长交抛物线于点，试问直线是否恒过点？若是，求出点的坐标；若不是，请说明理由.

5 . 已知点与点的距离比它到直线的距离小，若记点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)若直线与曲线相交于两点，且．求证直线过定点，并求出该定点的坐标．

6 . 已知P(1，2)在抛物线C：y²＝2px上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点．

7 . 已知点P是曲线C上任意一点，点P到点的距离与到y轴的距离之差为1．
(1)求曲线C的方程；
(2)设直线l₁，l₂为曲线C的两条互相垂直切线，切点为A，B，交点为点M．
（ⅰ）求点M的轨迹方程；
（ⅱ）求证：直线AB过定点，并求出定点坐标．

8 . 已知抛物线，直线交C于A，B两点．
(1)若弦AB的中点是，求直线l的方程；
(2)设，，若，求证：直线过定点．

9 . 点在抛物线上，F 为焦点，直线MF与准线相交于点N，求．

10 . 已知、是抛物线()上的两点，满足(为坐标原点).求证：
（1）、两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；
（2）直线经过一个定点.