1 . 已知抛物线：上有一点.
(1)求抛物线的标准方程及其准线方程；
(2)过点的直线交抛物线C于A，B两点，为坐标原点，记直线OA，OB的斜率分别为，，求证：为定值.

2 . 已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，若.
(1)求抛物线方程；
(2)若为坐标原点，、为抛物线上异于原点的不同的两点，记的斜率为，的斜率为，当时，求证：直线过定点.

3 . 已知点是曲线上任意一点，点到点的距离与到直线轴的距离之差为1.
(1)求曲线的方程；
(2)设直线，为曲线的两条互相垂直切线，切点为A，，交点为点.
（i）求点的轨迹方程；
（ii）求证：直线过定点，并求出定点坐标.

4 . 已知抛物线， 点是抛物线上的点．
(1)求抛物线的方程及的值；
(2)直线与抛物线交于 两点，，且，求的最小值并证明直线过定点．

5 . 已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在y轴上，且抛物线C经过点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)A，B是抛物线C上异于点P的两个动点，记直线和直线的斜率分别为，若，求证：直线过定点．

6 . 已知抛物线，直线经过点，并与抛物线交于，两点．

(1)证明：在轴上存在一个定点，使得；
(2)若直线，分别交轴于，两点，设的面积为，的面积为，求的最小值．

7 . 已知抛物线和直线．
(1)求抛物线焦点到准线的距离；
(2)若直线与抛物线有两个不同的交点，求的取值范围；
(3)在（2）的条件下，设直线与抛物线的交点为，且中点的横坐标为，求直线的方程．

8 . 1.已知抛物线与椭圆 有一个相同的焦点，过点且与轴不垂直的直线与抛物线交于两点，关于轴的对称点为．
(1)求抛物线的方程；
(2)试问直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

9 . 已知点在抛物线上，过点的直线与抛物线C有两个不同的交点A、B，且直线PA交轴于M，直线PB交轴于N.
(1)求抛物线C的方程；
(2)求直线的斜率的取值范围；
(3)设O为原点，，求证：为定值.

10 . 已知抛物线：的焦点为，是抛物线上一点且的面积为（其中为坐标原点），不过点的直线与抛物线交于，两点，且以为直径的圆经过点．
(1)求抛物线的方程；
(2)求证直线恒过定点．