1 . 十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数1在二进制中就表示为，2表示为，3表示为，5表示为，发现若可表示为二进制表达式，则，其中，或．
(1)记，求证：；
(2)记为整数的二进制表达式中的0的个数，如，．
（ⅰ）求；
（ⅱ）求（用数字作答）．

3 . 解下列方程.
(1)；
(2).

4 . （1）学校开设了7门选修课，要求每个学生从中选学4门，共有多少种不同的选法？
（2）从参加羽毛球团体比赛的6名运动员中选出3名，并按排定的顺序出场比赛，有多少种不同的选法？

5 . 已知，且．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．

6 . 已知二项式，且．
(1)求的展开式中的第5项；
(2)求的二项式系数最大的项．

7 . 某大学为调研学生在两家餐厅用餐的满意度，从在两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分.整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：，得到餐厅分数的频率分布直方图，和餐厅分数的频数分布表：

B餐厅分数频数分布表

分数区间	频数
	2
	3
	5
	15
	40
	35

(1)在抽样的100人中，求对餐厅评分低于30的人数；如果从两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由.
(2)从对餐厅评分在范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在范围内的概率；
(3)如果A餐厅把打分最低的和打分最高的人群称之为“口味独特”，反之为“正常口味”，请计算“正常口味”人群的打分范围.（近似到）

8 . 用0、1、2、3、4这五个数字组数.
(1)可以组成多少个允许数字重复的三位数？
(2)可以组成多少个无重复数字的三位数？
(3)可以组成多少个无重复数字的三位偶数？

9 . 2022年4月，新型冠状病毒疫情牵动着全国人民的心，某市根据上级要求，在本市某人民医院要选出护理外科、心理治疗方面的专家4人与省专家组一起赶赴上海参加救助工作，该医院现有3名护理专家，，，5名外科专家，，，，，2名心理治疗专家，.
(1)求4人中有1位外科专家，1位心理治疗师的选法有多少种?
(2)求至少含有2位外科专家，且外科专家和护理专家不能同时被选的选法有多少种?

10 . 已知（）的展开式中前项的二项式系数之和等于．
(1)求的值；
(2)若展开式中的一次项的系数为，求实数的值．