23-24高二下·江苏·期末
1 . 《中华人民共和国国民经济和社会发展第十四个五年规划和2023年远景目标纲要》指出：要加强原创性、引领性科技攻关，坚决打赢关键核心技术攻坚战.某企业集中科研骨干力量，攻克系列关键技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，工艺段覆盖至
，为我国芯片制造产业链补上重要一环.该企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.
(1)该款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在改进生产工艺前，前三道工序的次品率分别为
.
①求改进生产工艺前，该款芯片的次品率
；
②在第四道工序中，部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记
表示事件“某芯片经过智能检测系统筛选”，
表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，求证：
；
(2)改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标
服从正态分布
，现从中随机抽取
个，这个芯片中恰有
个的质量指标位于区间
.
①若
，以使得
的最大值作为的估计值，求；
②记这个芯片的质量指标的标准差为
，其中个芯片的质量指标的平均数为
，标准差为
，剩余芯片的质量指标的平均数为
，标准差为
，试写出的计算式.
参考数据：
.
，为我国芯片制造产业链补上重要一环.该企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.(1)该款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在改进生产工艺前，前三道工序的次品率分别为
.①求改进生产工艺前，该款芯片的次品率
；②在第四道工序中，部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记
表示事件“某芯片经过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，求证：；(2)改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标
服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间.①若
，以使得的最大值作为的估计值，求；②记这
个芯片的质量指标的标准差为，其中个芯片的质量指标的平均数为，标准差为，剩余芯片的质量指标的平均数为，标准差为，试写出的计算式.参考数据：
.
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23-24高三上·广东佛山·阶段练习
2 . 中国国家统计局2019年9月30日发布数据显示，2019年9月中国制造业采购经理指数（PMI）为
，反映出中国制造业扩张步伐有所加快．以新能源汽车、机器人、增材制造、医疗设备、高铁、电力装备、船舶、无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，则进一步体现了中国制造目前的跨越式发展．已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布
，并把质量差在
内的产品称为优等品，质量差在
内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理．现从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：
(1)根据大量的产品检测数据，检查样本数据的标准差s近似值为10，用样本平均数
作为
的近似值，用样本标准差
作为
的估计值，记质量差服从正态分布
，求该企业生产的产品为正品的概率
；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）参考数据：若随机变量服从正态分布,则
，
，
．
(2)假如企业包装时要求把2件优等品和
（
，且
）件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为，否则该箱产品记为．①试用含的代数式表示某箱产品抽检被记为的概率
；
②设抽检5箱产品恰有3箱被记为的概率为
，求当为何值时，取得最大值．
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3 . 某型合金钢生产企业为了合金钢的碳含量百分比在规定的值范围内，检验员在同一试验条件下，每天随机抽样10次，并测量其碳含量（单位：%）.已知其产品的碳含量服从正态分布
.
(1)假设生产状态正常，记
表示一天内10次抽样中其碳含量百分比在
之外的次数，求
及的数学期望：
(2)一天内的抽检中，如果出现了至少1次检测的碳含量在之外，就认为这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.下面是在一天中，检测员进行10次碳含量（单位：%）检测得到的测量结果：
经计算得，
，其中
为抽取的第
次的碳含量百分比
.
（i）用样本平均数
作为的估计值
，用样本标准差作为的估计值
，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？
（ii）若去掉
，剩下的数的平均数和标准差分别记为
，试写出的算式（用
表示）.
附：若随机变量
服从正态分布，则
.
.
.(1)假设生产状态正常，记
表示一天内10次抽样中其碳含量百分比在之外的次数，求及的数学期望：(2)一天内的抽检中，如果出现了至少1次检测的碳含量在
之外，就认为这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.下面是在一天中，检测员进行10次碳含量（单位：%）检测得到的测量结果：| 次数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 碳含量（%） | 0.31 | 0.32 | 0.34 | 0.31 | 0.30 | 0.31 | 0.32 | 0.31 | 0.33 | 0.32 |
，其中为抽取的第次的碳含量百分比.（i）用样本平均数
作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？（ii）若去掉
，剩下的数的平均数和标准差分别记为，试写出的算式（用表示）.附：若随机变量
服从正态分布，则..
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2023-10-06更新
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971次组卷
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3卷引用：湖南省常德市第一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题
湖南省常德市第一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题（已下线）第七章：随机变量及其分布章末重点题型复习-2023-2024学年高二数学题型分类归纳讲与练（人教A版2019选择性必修第三册）浙江省浙南名校联盟2023-2024学年高三上学期第一次联考数学试题
23-24高三上·辽宁·开学考试
名校
4 . 某单位有
名职工，通过抽验筛查一种疾病的患者．假设患疾病的人在当地人群中的比例为
.专家建议随机地按
（
且为的正因数）人一组分组，然后将各组个人的血样混合再化验. 如果混管血样呈阴性，说明这个人全部阴性；如果混管血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次.设该种方法需要化验的总次数为.
(1)当
时，求的取值范围并解释其实际意义；
(2)现对混管血样逐一化验，至化验出阳性样本时停止，最多化验
次.记
为混管的化验次数，当足够大时，证明：
；
(3)根据经验预测本次检测时个人患病的概率，当
时，按照计算得混管数量
的期望
；某次检验中
，试判断个人患病的概率为是否合理.（如果
，则说明假设不合理）．
附：若
，则
，
，
.
名职工，通过抽验筛查一种疾病的患者．假设患疾病的人在当地人群中的比例为.专家建议随机地按（且为的正因数）人一组分组，然后将各组个人的血样混合再化验. 如果混管血样呈阴性，说明这个人全部阴性；如果混管血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次.设该种方法需要化验的总次数为.(1)当
时，求的取值范围并解释其实际意义；(2)现对混管血样逐一化验，至化验出阳性样本时停止，最多化验
次.记为混管的化验次数，当足够大时，证明：；(3)根据经验预测本次检测时个人患病的概率
，当时，按照计算得混管数量的期望；某次检验中，试判断个人患病的概率为是否合理.（如果，则说明假设不合理）． 附：若
，则，，.
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名校
解题方法
5 . 航天事业是国家综合国力的重要标志，带动着一批新兴产业和新兴学科的发展．某市为了激发学生对航天科技的兴趣，点燃学生的航天梦，现组织该市全体学生参加航天创新知识竞赛，并随机抽取1000名学生作为样本，研究其竞赛成绩．经统计分析该市高中生竞赛成绩近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，
近似为样本方差
，并已求得
和
．
(1)若该市有4万名高中生，试估计这些高中生中竞赛成绩位于区间
的人数；
(2)若规定成绩在85.2以上的学生等级为优秀，现从全市高中生中任意抽取一个进行访谈，如果取到学生等级不是优秀，则继续抽取下一个，直至取到等级为优秀的学生为止，但抽取的总次数不超过．如果抽取次数的期望值不超过6，求的最大值．
（附：
，
，
，
，
，若
，则
，
）
近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，并已求得和．(1)若该市有4万名高中生，试估计这些高中生中竞赛成绩位于区间
的人数；(2)若规定成绩在85.2以上的学生等级为优秀，现从全市高中生中任意抽取一个进行访谈，如果取到学生等级不是优秀，则继续抽取下一个，直至取到等级为优秀的学生为止，但抽取的总次数不超过
．如果抽取次数的期望值不超过6，求的最大值．（附：
，，，，，若，则，）
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2023-06-27更新
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704次组卷
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3卷引用：河北省“五个一”名校联盟2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题
河北省“五个一”名校联盟2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题（已下线）模块二 专题3 计数原理、随机变量及其分布列 B提升卷（人教A）湖南省长沙市南雅中学2023-2024学年高三上学期入学考试数学试题
解题方法
6 . 2023年3月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有12个班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球
已知这种球的质量指标（单位：g）服从正态分布，其中
，
.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队，1班排球队积26分，2班排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3班排球队，设每局比赛1班排球队取胜的概率为.
(1)令
，则
，且
，求
，并证明：
；(2)第10轮比赛中，记1班排球队3：1取胜的概率为
，求出的最大值点
，并以作为的值，解决下列问题.（ⅰ）在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为，求的分布列；
（ⅱ）已知第10轮2班排球队积3分，判断1班排球队能否提前一轮夺得冠军（第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，1班排球队积分最多）？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由.
参考数据：，则
，
，
.
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2023-06-14更新
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1461次组卷
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9卷引用：江苏省连云港市灌南高级中学2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题
江苏省连云港市灌南高级中学2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题（已下线）模块二 专题4 《随机变量及其分布》单元检测篇 B提升卷（人教A)（已下线）模块二 专题2 《概率》单元检测篇 B提升卷（北师大2019版)（已下线）模块二 专题3《概率》单元检测篇 B提升卷（苏教版)（已下线）8.3 正态分布（七大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）山东省潍坊市安丘市2023届高三下学期3月份过程检测数学试题（已下线）专题10离散型随机变量的期望与方差（已下线）押新高考第19题 概率统计（已下线）第08讲 两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布（十一大题型）（讲义）-3
2023高三·全国·专题练习
解题方法
7 . N95型口罩是新型冠状病毒的重要防护用品，它对空气动力学直径
的颗粒的过滤效率达到95%以上．某防护用品生产厂生产的N95型口罩对空气动力学直径的颗粒的过滤效率服从正态分布
．
(1)当质检员随机抽检10只口罩，测量出一只口罩对空气动力学直径的颗粒的过滤效率为93．6%时，他立即要求停止生产，检查设备和工人工作情况．请你根据所学知识，判断该质检员的要求是否有道理，并说明判断的依据．
(2)该厂将对空气动力学直径的颗粒的过滤效率达到95．1%以上的N95型口罩定义为“优质品”．
（ⅰ）求该企业生产的一只口罩为“优质品”的概率；
（ⅱ）该企业生产了1000只这种N95型口罩，且每只口罩互相独立，记为这1000只口罩中“优质品”的件数，当为多少时可能性最大（即概率最大）？
的颗粒的过滤效率达到95%以上．某防护用品生产厂生产的N95型口罩对空气动力学直径的颗粒的过滤效率服从正态分布．(1)当质检员随机抽检10只口罩，测量出一只口罩对空气动力学直径
的颗粒的过滤效率为93．6%时，他立即要求停止生产，检查设备和工人工作情况．请你根据所学知识，判断该质检员的要求是否有道理，并说明判断的依据．(2)该厂将对空气动力学直径
的颗粒的过滤效率达到95．1%以上的N95型口罩定义为“优质品”．（ⅰ）求该企业生产的一只口罩为“优质品”的概率；
（ⅱ）该企业生产了1000只这种N95型口罩，且每只口罩互相独立，记
为这1000只口罩中“优质品”的件数，当为多少时可能性最大（即概率最大）？
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2023高三·全国·专题练习
名校
解题方法
8 . 2022年中国共产党第二十次全国代表大会胜利召开之际，结合巩固深化“不忘初心、牢记使命”主题教育成果，在全体党员中继续开展党史学习教育．为了配合这次学党史活动，某地组织全体党员干部参加党史知识竞赛，现从参加入员中随机抽取100人，并对他们的分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．，试求随机变量的分布列及期望．
(2)由频率分布直方图，可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数X服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算
．现从所有参加党史知识竞赛的人员中随机抽取500人，且参加党史知识竞赛的人员的分数相互独立，试问这500名参赛者的分数不低于82.3的人数最有可能是多少?
参考数据：
，
，
，
．
，试求随机变量的分布列及期望．(2)由频率分布直方图，可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数X服从正态分布
，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算．现从所有参加党史知识竞赛的人员中随机抽取500人，且参加党史知识竞赛的人员的分数相互独立，试问这500名参赛者的分数不低于82.3的人数最有可能是多少?参考数据：
，，，．
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2023·河北·模拟预测
9 . 随着网络技术的迅速发展，直播带货成为网络销售的新梁道.某服装品牌为了给所有带货网络平台分配合理的服装量，随机抽查了100个带货平台的销售情况，销售每件服装平均所需时间情况如下频率分布直方图.
(1)求的值，并估计出这100个带货平台销售每件服装所用时间的平均数
和中位数；
(2)假设该服装品牌所有带货平台销售每件服装平均所需时间服从正态分布，其中近似为，
.若该服装品牌所有带货平台约有10000个，销售每件服装平均所需时间在
范围内的平台属于“合格平台”.为了提升平台销售业务，该服装品牌总公司对平台进行奖罚制度，在时间大于44.4分钟的平台中，每个平台每卖一件扣除
；在时间小于14.4分钟的平台中，每卖一件服装进行奖励
元，以资鼓励；对于“合格平台”每卖一件服装奖励1元.求该服装品牌总公司在所有平台均销售一件服装时总共需要准备多少资金作为本次平台销售业务提升.（结果保留整数）
附：若服从正态分布，则
，
，
.参考数据：
.
(1)求
的值，并估计出这100个带货平台销售每件服装所用时间的平均数和中位数；(2)假设该服装品牌所有带货平台销售每件服装平均所需时间
服从正态分布，其中近似为，.若该服装品牌所有带货平台约有10000个，销售每件服装平均所需时间在范围内的平台属于“合格平台”.为了提升平台销售业务，该服装品牌总公司对平台进行奖罚制度，在时间大于44.4分钟的平台中，每个平台每卖一件扣除；在时间小于14.4分钟的平台中，每卖一件服装进行奖励元，以资鼓励；对于“合格平台”每卖一件服装奖励1元.求该服装品牌总公司在所有平台均销售一件服装时总共需要准备多少资金作为本次平台销售业务提升.（结果保留整数）附：若
服从正态分布，则，，.参考数据：.
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2023-04-26更新
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1092次组卷
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5卷引用：期末押题预测卷01（范围：选择性必修第二册、选择性必修第三册）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（人教B版2019）
（已下线）期末押题预测卷01（范围：选择性必修第二册、选择性必修第三册）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（人教B版2019）（已下线）专题04 超几何分布+二项分布+正态分布压轴题（4）（已下线）专题04 超几何分布+二项分布+正态分布压轴题（3）河北省2023届高三下学期大数据应用调研联合测评（Ⅲ）数学试题（已下线）考点18 导数的应用--函数最值问题 2024届高考数学考点总动员【练】
名校
10 . 近年来，学生职业生涯规划课程逐渐进入课堂，考生选择大学就读专业时不再盲目扎堆热门专业，报考专业分布更加广泛，之前较冷门的数学、物理、化学等专业报考的人数也逐年上升.下表是某高校数学专业近五年的录取平均分与当年该学校的最低提档线对照表：
(1)根据上表数据可知，y与t之间存在线性相关关系，请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程；
(2)据以往数据可知，该大学每年数学专业的录取分数X服从正态分布
，其中为当年该大学的数学录取平均分，假设2022年该校最低提档分数线为540分.
①若该大学2022年数学专业录取的学生成绩在584分以上的有3人，本专业2022年录取学生共多少人？进入本专业高考成绩前46名的学生可以获得一等奖学金，则一等奖学金分数线应该设定为多少分？
②在①的条件下，若从该专业获得一等奖学金的学生中随机抽取3人，用表示其中高考成绩在584分以上的人数，求随机变量的分布列与数学期望.
参考公式：
，
.
参考数据：
，
，
| 年份 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 |
年份代码 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 该校最低提档分数线 | 510 | 511 | 520 | 512 | 526 |
| 数学专业录取平均分 | 522 | 527 | 540 | 536 | 554 |
提档线与数学专业录取平均分之差 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 |
(2)据以往数据可知，该大学每年数学专业的录取分数X服从正态分布
，其中为当年该大学的数学录取平均分，假设2022年该校最低提档分数线为540分.①若该大学2022年数学专业录取的学生成绩在584分以上的有3人，本专业2022年录取学生共多少人？进入本专业高考成绩前46名的学生可以获得一等奖学金，则一等奖学金分数线应该设定为多少分？
②在①的条件下，若从该专业获得一等奖学金的学生中随机抽取3人，用
表示其中高考成绩在584分以上的人数，求随机变量的分布列与数学期望.参考公式：
，.参考数据：
，，
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2023-02-15更新
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1578次组卷
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7卷引用：江西省重点中学协作体2022-2023学年高二下学期第一次（2月）联考数学试题
江西省重点中学协作体2022-2023学年高二下学期第一次（2月）联考数学试题（已下线）9.1.2线性回归方程（2）（已下线）第8章 成对数据的统计分析（A卷·知识通关练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（沪教版2020选择性必修第二册）（已下线）8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（分层作业）-【上好课】2022-2023学年高二数学同步备课系列（人教A版2019选修第三册）（已下线）专题05 成对数据的统计分析压轴题（2）（已下线）专题9-1 概率与统计及分布列归类（理）（讲+练）-1辽宁省沈阳市东北育才学校2023届高三高考适应性测试（二）数学试题
