23-24高三下·安徽·阶段练习
名校
解题方法
1 . 某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求．
(1)现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据
的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？
(2)张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为
；如果前一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为
，
；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为．张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为
，，．
（ⅰ）求第2天他去乙餐厅用餐的概率；
（ⅱ）求第
天他去甲餐厅用餐的概率
．
附：
；
(1)现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据
的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？| 性别 | 就餐区域 | 合计 | |
| 南区 | 北区 | ||
| 男 | 33 | 10 | 43 |
| 女 | 38 | 7 | 45 |
| 合计 | 71 | 17 | 88 |
(2)张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为
；如果前一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为，；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为．张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为，，．（ⅰ）求第2天他去乙餐厅用餐的概率；
（ⅱ）求第
天他去甲餐厅用餐的概率．附：
；
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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2 . 为喜迎新春营造节日气氛，某市医保局工会组织全体职工开展了“迎新春促和谐”象棋比赛、猜谜语、写新年寄语活动，参与人员热情高涨，场面气氛活跃，充分展示了该市医保局干部团结、拼搏、积极向上的精神风貌．此次活动不仅弘扬了中华传统，也丰富了职工节日文化生活，增强了医保队伍的凝聚力、向心力、战斗力．甲、乙两位职工进行猜谜语比赛，比赛规则如下：“若甲猜对谜语，由甲继续猜下一道谜语；若甲猜错谜语，由乙接着猜下一道谜语；反之亦然．”已知甲、乙猜对每一道谜语的概率都为，且甲、乙猜每一道谜语之间互相独立．
(1)若第1道谜语由甲、乙猜的概率分别是和
，求第3道谜语由甲猜的概率；
(2)假设谜语的数量足够多，若第1道谜语由乙先猜，求第30道谜语由乙猜的概率．
，且甲、乙猜每一道谜语之间互相独立．(1)若第1道谜语由甲、乙猜的概率分别是
和，求第3道谜语由甲猜的概率；(2)假设谜语的数量足够多，若第1道谜语由乙先猜，求第30道谜语由乙猜的概率．
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3 . 甲､乙､丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中．
(1)设前三次投掷骰子后，球在甲手中的次数为
，求随机变量的分布列和数学期望；
(2)投掷
次骰子后
，记球在乙手中的概率为，求数列
的通项公式；
(3)设
，求证：
．
(1)设前三次投掷骰子后，球在甲手中的次数为
，求随机变量的分布列和数学期望；(2)投掷
次骰子后，记球在乙手中的概率为，求数列的通项公式；(3)设
，求证：．
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23-24高三下·湖南·开学考试
名校
解题方法
4 . 某学校食堂每天中午为师生提供了冰糖雪梨汤和苹果百合汤，其均有止咳润肺的功效．某同学每天中午都会在两种汤中选择一种，已知他第一天选择冰糖雪梨汤的概率为，若前一天选择冰糖雪梨汤，则后一天继续选择冰糖雪梨汤的概率为，而前一天选择苹果百合汤，后一天继续选择苹果百合汤的概率为，如此往复．
(1)求该同学第二天中午选择冰糖雪梨汤的概率．
(2)记该同学第天中午选择冰糖雪梨汤的概率为
，证明：
为等比数列．
(3)求从第1天到第10天中，该同学中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤概率的天数．
，若前一天选择冰糖雪梨汤，则后一天继续选择冰糖雪梨汤的概率为，而前一天选择苹果百合汤，后一天继续选择苹果百合汤的概率为，如此往复．(1)求该同学第二天中午选择冰糖雪梨汤的概率．
(2)记该同学第
天中午选择冰糖雪梨汤的概率为，证明：为等比数列．(3)求从第1天到第10天中，该同学中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤概率的天数．
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2024-02-27更新
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1214次组卷
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5卷引用：专题3.5马尔科夫链模型（强化训练）-2023-2024学年高二数学下学期重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019）
（已下线）专题3.5马尔科夫链模型（强化训练）-2023-2024学年高二数学下学期重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019）湖南省三湘创新发展联合体2023-2024学年高三下学期2月开学统试数学试题贵州省黔东南苗族侗族自治州2023-2024学年高三上学期九校联考（开学考）数学试题广西壮族自治区桂林市2023-2024学年高二下学期入学联合检测卷数学试题湖南省邵阳市新邵县第二中学2024届高三下学期开学考试数学试题
2024高三上·全国·专题练习
名校
解题方法
5 . 随着芯片技术的不断发展，手机的性能越来越强大，为用户体验带来了极大的提升．某科技公司开发了一款学习类的闯关益智游戏，每一关的难度分别有“容易”“适中”“困难”三个档次，并且下一关的难度与上一关的难度有关，若上一关的难度是“容易”或者“适中”，则下一关的难度是“容易”“适中”“困难”的概率分别为
，若上一关的难度是“困难”，则下一关的难度是“容易”“适中”“困难”的概率分别为
，已知第1关的难度为“容易”．
(1)求第3关的难度为“困难”的概率；
(2)用表示第关的难度为“困难”的概率，求．
，若上一关的难度是“困难”，则下一关的难度是“容易”“适中”“困难”的概率分别为，已知第1关的难度为“容易”．(1)求第3关的难度为“困难”的概率；
(2)用
表示第关的难度为“困难”的概率，求．
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23-24高三上·甘肃·阶段练习
解题方法
6 . 某学校有
、
两个餐厅，已知同学甲每天中午都会在这两个餐厅中选择一个就餐，如果甲当天选择了某个餐厅，他第二天会有
的可能性换另一个餐厅就餐，假如第
天甲选择了餐厅，则第天选择餐厅的概率为__________ .
、两个餐厅，已知同学甲每天中午都会在这两个餐厅中选择一个就餐，如果甲当天选择了某个餐厅，他第二天会有的可能性换另一个餐厅就餐，假如第天甲选择了餐厅，则第天选择餐厅的概率为
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名校
解题方法
7 . 一个平台的俯视图为一个3×3的方格表，初始时在中心的方格
处有一只电子瓢虫，每过一秒钟，该瓢虫都会随机选择平行于平台边界的四个方向之一移动一个单位．如果瓢虫跌落平台就会“死亡”，那么在2023秒后，该瓢虫仍然“存活”的概率是________ ．
处有一只电子瓢虫，每过一秒钟，该瓢虫都会随机选择平行于平台边界的四个方向之一移动一个单位．如果瓢虫跌落平台就会“死亡”，那么在2023秒后，该瓢虫仍然“存活”的概率是
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2024-01-02更新
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663次组卷
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4卷引用：2024年全国高中数学联赛模拟练习试题（一试）
2024年全国高中数学联赛模拟练习试题（一试）广东省广州市华南师大附中2024届高三上学期大湾区数学预测卷（一）（已下线）考点11 由实际问题探究递推关系 2024届高考数学考点总动员【练】（已下线）第1讲：数列的函数性质应用【练】
2023·全国·模拟预测
解题方法
8 . 羽毛球正式比赛的规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．而在训练中可以不遵循胜方发球的规则．已知甲、乙进行羽毛球共进行了60回合的比赛，得到如下待完善的
列联表．
(1)完成列联表，并判断是否有
的把握认为“获胜与接、发球有关”？
(2)以上述列联表中甲、乙各自接、发球的得分频率分别作为正式比赛中每一回合中甲、乙各自接、发球的得分概率．
（ⅰ）若第1回合是甲先发球，设第
回合是甲发球的概率为
，证明：
是等比数列；
（ⅱ）已知：若，
是随机变量，则有
．若在正式比赛中，第1回合是甲先发球，求甲、乙连续进行60回合比赛后甲的总得分期望．试说明列联表中数据是正式比赛数据还是训练数据，并简述理由．参考公式：
，其中
．
临界值表供参考：
列联表．甲得分 | 乙得分 | 总计 | |
甲发球 | 18 | ||
乙发球 | 24 | ||
总计 | 24 | 60 |
列联表，并判断是否有的把握认为“获胜与接、发球有关”？(2)以上述
列联表中甲、乙各自接、发球的得分频率分别作为正式比赛中每一回合中甲、乙各自接、发球的得分概率．（ⅰ）若第1回合是甲先发球，设第
回合是甲发球的概率为，证明：是等比数列；（ⅱ）已知：若
，是随机变量，则有．若在正式比赛中，第1回合是甲先发球，求甲、乙连续进行60回合比赛后甲的总得分期望．试说明列联表中数据是正式比赛数据还是训练数据，并简述理由．参考公式：，其中．临界值表供参考：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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名校
解题方法
9 . 投掷一枚质地不均匀的硬币，己知出现正面向上的概率为p，记
表示事件“在n次投掷中，硬币正面向上出现偶数次”，则下列结论正确的是（ ）
表示事件“在n次投掷中，硬币正面向上出现偶数次”，则下列结论正确的是（ ）A． 与 是互斥事件 | B． |
C． | D． |
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2023-12-27更新
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1792次组卷
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5卷引用：广东省广州市第六中学2024届高三上学期第一次调研数学试题
广东省广州市第六中学2024届高三上学期第一次调研数学试题（已下线）大招1 条件概率与全概率公式&贝叶斯公式2024届河北省部分高中高考一模数学试题湖北省宜荆荆随恩2024届高三上学期12月联考数学试题（已下线）专题11 统计与概率（分层练）
解题方法
10 . 有个编号分别为
的盒子，第1个盒子中有2个红球和1个白球，其余盒子中均为1个红球和1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，现从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，
，依次进行．
(1)求从第2个盒子中取到红球的概率；
(2)求从第个盒子中取到红球的概率；
(3)设第个盒子中红球的个数为，的期望值为
，求证：
．
个编号分别为的盒子，第1个盒子中有2个红球和1个白球，其余盒子中均为1个红球和1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，现从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，，依次进行．(1)求从第2个盒子中取到红球的概率；
(2)求从第
个盒子中取到红球的概率；(3)设第
个盒子中红球的个数为，的期望值为，求证：．
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