1 . 设数列的前n项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：数列中的任意不同的三项均不能构成等差数列.

2 . 若无穷数列和无穷数列满足：存在正常数A，使得对任意的，均有，则称数列与具有关系．
（1）设无穷数列和均是等差数列，且，，问：数列与是否具有关系？说明理由；
（2）设无穷数列是首项为1，公比为的等比数列，，，证明：数列与具有关系，并求A的最小值；
（3）设无穷数列是首项为1，公差为的等差数列，无穷数列是首项为2，公比为的等比数列，试求数列与具有关系的充要条件．

3 . 已知且，如果数列满足：对于任意的，均有，其中，那么称数列为“紧密数列”.
（1）若“紧密数列”：为等差数列，，求数列的公差d的取值范围；
（2）数列为“紧密数列”，求证：对于任意互不相等的，均有；
（3）数列为“紧密数列”，对于任意的，且成立，求S的最小值.

4 . 已知数列的前项和为，.
（1）若，求证：，，必可以被分为1组或2组，使得每组所有数的和小于1；
（2）若，求证：，，…，必可以被分为组（），使得每组所有数的和小于1．

5 . 设个不全相等的正数，，…，依次围成一个圆圈.
(1)设，且，，，…，是公差为的等差数列，而，，，…，是公比为的等比数列，数列，，…，的前项和满足，，求数列的通项公式；
(2)设，，若数列，，…，每项是其左右相邻两数平方的等比中项，求；
(3)在（2）的条件下，，求符合条件的的个数.

6 . 若数列和的项数均为，则将数列和的距离定义为.
(1)求数列，，，和数列，，，的距离.
(2)记为满足递推关系的所有数列的集合，数列和为中的两个元素，且项数均为.若，，数列和的距离小于，求的最大值.
(3)记是所有项数列（其中，或）的集合，，且中的任何两个元素的距离大于或等于.求证：中的元素个数小于或等于.

7 . 若数列满足①，②存在常数与无关），使.则称数列是“和谐数列”.
（1）设为等比数列的前项和，且，求证：数列是“和谐数列”；
（2）设是各项为正数，公比为q的等比数列，是的前项和，求证：数列是“和谐数列”的充要条件为.

8 . 设函数的定义域为M，具有性质P：对任意，都有.
（1）若M为实数集R，是否存在函数 (a＞0且a≠1，) 具有性质P，并说明理由；
（2）若M为自然数集N，并满足对任意，都有. 记.
(ⅰ) 求证：对任意，都有且d(x)≥0；
(ⅱ) 求证：存在整数0≤c≤d(1)及无穷多个正整数n，满足d(n)＝c.