1 . 已知为有穷整数数列，若满足：，其中，是两个给定的不同非零整数，且，则称具有性质.
(1)若，，那么是否存在具有性质的？若存在，写出一个这样的；若不存在，请说明理由；
(2)若，，且具有性质，求证：中必有两项相同；
(3)若，求证：存在正整数，使得对任意具有性质的，都有中任意两项均不相同.

2 . 定义两个维向量，的数量积，，记为的第k个分量（且）.如三维向量，其中的第2分量.若由维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含有n个n维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素，，满足（T为常数）且.则称A为T的完美n维向量集.
(1)求2的完美3维向量集；
(2)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由；
(3)若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所有元素的第k分量和.

4 . 直线与平面相交于点，过点在平面内作三条射线，，，，求证：．

8 . 已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，若时，规定.
(1)若，写出及的值；
(2)若数列是等差数列，求数列的通项公式；
(3)设集合，求证：且.

9 . （1）设，用反证法证明：若，则或．
（2）设，比较与的值的大小．