1 . 已知正项数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，记数列的前项和为，求证：．

2 . 设正项数列满足：，且对于，都有，且.
（1）求，；
（2）求数列的通项公式.

3 . 自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为了持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响.用表示某鱼群在第年年初的总量且.不考虑其他因素，设在第年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正常数，，
（1）求与的关系式
（2）若每年年初鱼群的总量保持不变，求，，，所应满足的条件
（3）设，，为保证对任意，都有，则捕捞强度的最大允许值是多少？并说明理由.

4 . 已知正数数列前项和为，且任意，与2的等差中项等于与2的正的等比中项．
（1）求，，；
（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．

5 . 已知，，
（1）求：，，的值；
（2）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明.

6 . 已知点满足，，且点的坐标为.
（1）求过点的直线的方程；
（2）试用数学归纳法证明：对于，点都在（1）中的直线上.

7 . 已知数列满足，.
（1）计算，，；
（2）猜测的表达式，并用数学归纳法证明.

8 . 已知由非负整数组成的数列满足下列两个条件：
①，，
②，，4，5，，
（1）求；
（2）证明，，4，5，；
（3）求的通项公式及其前项和．

9 . 已知函数() =，g ()=+．
（1）求函数h ()=()-g ()的零点个数，并说明理由；
（2）设数列满足，，证明：存在常数M,使得对于任意的，都有≤ .

10 . 数列满足，（1）计算的值；
（2）归纳推测，并用数学归纳法证明你的推测.