1 . 已知复数，，是虚数单位．
（1）求证；
（2）若为实数，求实数的值

2 . 已知关于的方程
（1）若方程有实数根，求锐角和实数根；
（2）用反证法证明：对任意，方程无纯虚数根.

3 . 任何一个复数（其中，，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：
（），我们称这个结论为棣莫弗定理．
（1）请证明棣莫弗定理；
（2）根据棣莫弗定理，直接写出方程在复数范围内的四个根．（不需要过程）

4 . 已知复数，.
（1）当，，，时，求，，；
（2）根据（1）的计算结果猜想与的关系，并证明该关系的一般性；
（3）结合（2）的结论进行类比或推广，写出一个复数的模的运算性质（不用证明）.

5 . 已知复数，若存在实数，使成立．
（1）求证：为定值；
（2）若，求的取值范围．

7 . 设，．
（1）求证：是纯虚数；
（2）求的取值范围．

8 . 已知，关于的方程．（是虚数单位）
（1）若方程有实数根，求实数；
（2）证明：方程无纯虚数根．

9 . 已知是方程（）的一个根.
（1）求实数，的值；
（2）结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明.

10 . 如图，已知平面内并列的三个全等的正方形，利用复数证明．