1 . 利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（其中）视为一个向量，记作，类比平面向量的相关运算法则，对于复向量，我们有如下运算法则：
①
②；
③
④
(1)设，为虚数单位，求，，；
(2)设是两个复向量，
①已知对于任意两个平面向量，（其中），成立，证明：对于复向量，也成立；
②当时，称复向量与平行.若复向量与平行（其中为虚数单位，），求复数.

2 . 在复平面内复数所对应的点为，O为坐标原点，i是虚数单位.
(1)，计算与；
(2)设，求证：，并指出向量满足什么条件时该不等式取等号.

3 . 设是虚数，是实数，且，.
(1)求；
(2)证明：为纯虚数.

4 . 已知复数z满足，求证：是实数.

5 . 在英语中，实数是Real Quantity，一般取Real的前两个字母“Re”表示一个复数的实部；虚数是Imaginary Quantity，一般取Imaginary的前两个字母“Im”表示一个复数的虚部.如：.已知复数是方程的解.
(1)若，求证；
(2)若，复数且满足，在复平面内对应的点为，当取得最大值时，求点的坐标.

6 . （1）已知复数的实部与虚部互为相反数，求；
（2）已知复数满足，求证：是实数.

7 . 已知复数，且在复平面内对应的点在函数的图象上.
(1)证明：.
(2)求的取值范围.

8 . 已知是虚数，是实数．
(1)求的值；
(2)设，求证：为纯虚数．

9 . 设复数数列满足：，且对任意正整数n，均有：.若复数对应复平面的点为，O为坐标原点.
(1)求的面积；
(2)求；
(3)证明：对任意正整数m，均有.

10 . 已知，求证：
（1）；
（2）．